【正文】 （16） 特別的，當(dāng)獨立時，有 （17）已知W的密度函數(shù)為： （18）根據(jù)公式（11），（14），（17），（18）可以得到Wilks的密度公式。相互獨立，~i=1,(1) p=1時，由性質(zhì)1知~所以~F（m，n）. （20）(2) m=1時，由性質(zhì)2知~所以 ~ F（p，n+1p）. （21）（3）p=2時，由性質(zhì)3知~所以 ~ . （22）（4）m=2時，由性質(zhì)2知，從而由性質(zhì)3知 ~所以 ~ （23）在p或m時，Wilks分布的分布函數(shù)的精確計算很是困難。一、分布的漸進展開Wilks分布的的階矩的計算公式 （）利用這個公式首先得到的特征函數(shù)的展開式，然后基于這個特征函數(shù)的展開式得到的分布函數(shù)的漸近展開。由于是分布的特征函數(shù)，根據(jù)下面的一個結(jié)論就可以知道，的分布是分布的加權(quán)和。由上述結(jié)論知，的分布是分布的加權(quán)和。若取，則對任意的，都有 （） 這時若用和分布的加權(quán)和近似的分布，其精度就能達到。且若，則由（）可知，將精度提高至也變得不很復(fù)雜。從而知，的特征函數(shù)的對數(shù)為，其中，將g(t)中的視為x，根據(jù)函數(shù)的展開式可將g(t)展開。這個問題下面進行討論。時，的生存（或分布）函數(shù)的近似計算最為簡單，但是它的精度比較低，只有，取精度提高至。若用的分布函數(shù)近似的分布函數(shù)，其精度達到。若存在常數(shù)使得則其中，分別是的密度函數(shù)，而分別是得分布函數(shù)。 函數(shù)有展開式 （）其中，即當(dāng)時，有界，是Bernoulli多項式，滿足條件這里列舉個Bernoulli多項式，它們?yōu)閷ⅲǎ┲械囊暈?，根?jù)函數(shù)的展開式，將展開至，使得尾部為，其中， （）其中， （）這里列舉和的值，它們是 .由（）知 所以的特征函數(shù)的對數(shù)可展開為 從而得到的特征函數(shù)的展開式為 其中，展開為 從而有 （）其中， （）這里列舉和的值，它們是 若取，則若取，則若取，則由（）知 是的次多項式。四、Wilks分布的漸進展開在和給定，時討論Wilks分布的分布函數(shù)的漸進展開。性質(zhì)2 在時，通常根據(jù)性質(zhì)2將化為性質(zhì)3 （1），相互獨立，~i=1,Wilks分布的定義及性質(zhì)本文包括Wilks分布的定義、密度函數(shù)、分布函數(shù)的積分表達式和漸進展開式、特征函數(shù)的積分形式以及相關(guān)性質(zhì)及證明。證明：因為 =，所以，而第一列全是1，所以 另一方面，容易看出 因為 =所以 其余部分證明見Seber(1976)。若，則總離差。對一個實際問題，如果我們獲得組觀測數(shù)據(jù)，則線性回歸模型可表示為寫成矩陣形式為其中，對多元線性回歸方程的顯著性檢驗就是要看自變量從整體上對隨機變量是否有明顯的影響。表1 一元線性回歸方差分析表方差來源自由度平方和均方F值P值回歸殘差總和1n2n1SSRSSESSTSSR/1SSE/(n2)P()=P值（統(tǒng)計量的具體證明在多元線性回歸模型中給出。這樣，回歸平方和越大，回歸的效果越好。稱為殘差平方和，簡記為或，其本質(zhì)是估計誤差的平方和，這部分反應(yīng)了這組實測值扣除了對的線性影響后剩下的變異。下面我們重點介紹F檢驗法。因而由（6）式知，若令，則在引入服從泊松分布的變量后，變量的分布可以理解為，在給定后的條件分布為中心的分布，所以非中心分布的密度函數(shù)為 從而根據(jù)（6）式，可由非中心分布密度函數(shù)得到非中心分布函數(shù)為（8）在（8）式中取，即得到中心分布函數(shù)為 （9）此外，中心分布的密度函數(shù)也可以有中心分布密度函數(shù)導(dǎo)出。由（7）式知，由非中心分布的密度函數(shù)可以得到非中心分布的密度函數(shù)。 與（2）式（4）式相類似，有（1） 在與相互獨立，時，（5）其中，分子與分母這兩個分布相互獨立，分子的是自由度為的非中心分布，其非中心參數(shù)為，由（5）式可以看出非中心的分布除了與有關(guān)外，還僅與有關(guān)。 嚴格的說，在與相互獨立，時，的分布是中心的分布。性質(zhì)（1）說明服從分布，從而（1）式可知，分布可轉(zhuǎn)化為分布 . (3)由（1），有這說明分布可轉(zhuǎn)化為分布。補充書本以外的一些性質(zhì)如下：由于與相互獨立,所以在給定的條件下,條件分布仍為，則的條件分布為。在一元統(tǒng)計中（設(shè)且相互獨立）若，則。一般地，若，則稱統(tǒng)計量的分布為非中心分布，記為。服從分布。分布回顧分布的定義。下面將非中心分布推廣到非中心分布。它的分布除了與n有關(guān)外，還與有關(guān)，稱為非中心參數(shù)。由此可見。此外，在時，所以欲證W以概率1為正定矩陣的充要條件是，僅需要證明在時。同理得：（，為常數(shù)）。性質(zhì)2：（可加性）設(shè),且相互獨立，則。有隨機矩陣特征函數(shù)的定義可知,且,因此有：從而，其中,由對角定理，對于對稱陣及正定陣，必存在奇異陣使得:,做變換,反之，則: ⑤由于，所以。三． Wishart分布設(shè)相互獨立同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，令，則 ①其密度函數(shù)為： ②而在相互獨立同正態(tài)分布時，其密度函數(shù)為： ③下面將上述結(jié)果推廣至多元正態(tài)分布的情況。下面將非中心分布推廣到非中心分布。它的分布除了與n有關(guān)外，還與有關(guān)，稱為非中心參數(shù)。由此可見。此外，在時，所以欲證W以概率1為正定矩陣的充要條件是，僅需要證明在時。同理得：（，為常數(shù)）。性質(zhì)2：（可加性）設(shè),且相互獨立，則。有隨機矩陣特征函數(shù)的定義可知,且,因此有：從而，其中,由對角定理，對于對稱陣及正定陣，必存在奇異陣使得:,做變換,反之，則: ⑤由于，所以。二次型的分布一． Wishart分布設(shè)相互獨立同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，令，則 ①其密度函數(shù)為： ②而在相互獨立同正態(tài)分布時，其密度函數(shù)為： ③下面將上述結(jié)果推廣至多元正態(tài)分布的情況。隨機變量F