【正文】 ? ???? ? ? ?? 的精確解為 * ( , , )Tx ? . 把方程組化為 17 1 2 32 1 33 1 20. 1 0. 2 0. 720. 1 0. 2 0. 830. 2 0. 2 0. 84x x xx x xx x x? ? ???? ? ???? ? ?? 取初始向量 (0) (0,0,0)Tx ? ,用 Jacobi 迭代法計算后的結(jié)果如表 ，從結(jié)果可以看出近似解序列以精確解為極限收斂。 定理 1[3] 若 A 是一般方陣，則譜半徑不超過任意一種矩陣模 , ()AA? ? . （ ） 即有基本 迭代法收斂的充要條件是 ( ) 1B? ? . 由定理 1 可知基本迭代法收斂的一個充分條件為 1B? . 定理 2[1] 當 1B? 時， 則有 19 * ( ) ( 1 ) ( 0 )1 kk Bx x x xB? ? ?? . 因此 ， 當 B 越小則迭代法收斂的越快。 對于例 ，迭代矩陣 0 10 2010 0 55 1 0B????????? 20 特征方程為 3 5 45 0 0IM? ? ?? ? ? ? ?, 計算得 1 2. , i??? ? ? ? 即 ( ) 1B? ? ，因此迭代不收斂。 在線性方程組 Ax b? . （ ） 中 A 為 n 階對稱正定矩陣 。若沒有舍入誤差，最多 進行 n 次迭代就可以得到線性方程組（ ）的精確解。 解 本題的 Matlab 程序 如下 %用 CG 法求解對稱正定方程組 Ax=b %輸入矩陣的階數(shù) n A=eye(n)。 23 for i=1:n if(i1amp。, A(n,:)=A(n,:)+F。 %以上步驟 取得 A 為 n 階對稱正定矩陣 for i=1:n X(i)=1。 end x=u39。 while(sqrt(q)deltaamp。 p=r+l*p。 x=x+j*p。*r, end x %迭代結(jié)果 NUM %迭代次數(shù) 運行此程序的結(jié)果為 只需迭代 3 就 得到 解 1 64(1,1, 1)Tx ?? . 對例 與例 、例 的迭代結(jié)果比較如下 25 表 Jacobi 法、 GaussSeidel 法、 CG 法迭代結(jié)果比較 題號 迭代方法 迭代次數(shù) 例 4 Jacobi 法 8 例 7 GaussSeidel 法 5 例 12 CG 法 3 由比較結(jié)果可以看出，對于系數(shù)矩陣為稀疏矩陣的線性方程組，且用 CG法求解的方程組的元比用 Jacobi法和 GaussSeidel法求解的方程組的元多的多的時候， CG 法的收斂速度明顯要快，即 CG 法更適合對大型稀疏矩陣的求解。 且最佳松弛因子 opt? 一般很難獲得 。在此，謹向老師們致以衷心的感謝和崇高的敬意！在論文的寫作中，專業(yè)知識得到了巨世光和肖亮民同學的幫助和指導(dǎo)，程序方面得到了張海斌同學的幫助和指導(dǎo)，在此對他們表示深深的感謝！ 其次我要忠心的感謝四年來父母對我學業(yè)的支持和鼓勵！ 最后，我要向百忙之中抽出時間對本文進行審閱、評議和參與本人論文答辯的各位老師表示感謝！ 附錄 以下程序均為 C 語言編寫 程序 1： /*x1 是方程組的初始值 ,a[i][j]為系數(shù)矩陣 ,a[i][n+1]為常數(shù)項 */ include include void main() { float a[11][12],x1[11],x2[11],temp=0,fnum=0。 scanf(%d,amp。in+1。x1[i])。i++) { j=1。 j++。i++) { printf(b%d=,i)。 while(bk!=1) { for(i=1。j++) { if (j!=i) temp=a[i][j]*x1[j]+temp。in+1。 for(i=1。 } printf(fang cheng zu de jie:\n)。 printf(\n)。 } 程序 2： /*x1 是方程組的初始值 ,a[i][j]為系數(shù)矩陣 ,a[i][n+1]為常數(shù)項 */ include include void main() { float a[11][12],x1[11],x2[11],temp=0,temp1=0,temp2=0,fnum=0。 scanf(%d,amp。in+1。x1[i])。 } printf(\n input fang cheng zu xi shu:\n)。 while(jn+1) { printf(a%d%d=,i,j)。 } } printf(\n input chang shu xiang:\n)。 scanf(%f,amp。in+1。 if (ij) temp2=a[i][j]*x1[j]+temp2。 } for(i=1。 } if(temp=pow(10,6)) { bk=1。 } N=N+1。i++) { printf(x%d=% ,i,x1[i])。 getch()。 printf(input fang cheng zu de yuan(n10):\nn=)。 scanf(%f,amp。in+1。 */ } for(i=1。 for(i=1。 32 scanf(%f,amp。 for(i=1。a[i][n+1])。i++) { for(j=1。 } x2[i]=x1[i]+w*(a[i][n+1]temp1temp2)/a[i][i]。in+1。 } for(i=1。 } printf(fang cheng zu answer:\n)。 printf(\n)。 } 34 藍咀彌獅險軌俯贅拔增臟秤需摹肯夫轅亮劑豎簇慌襄弦駕沼鞘虧蔽士悼嗡曰粟縣眉 四腔馱置舉拄序妥傈瀝搔堆礎(chǔ)巳敵祥酥洱孟潮惟園愉敘擋藐馭凍窮缺魁芋年靛照酸頓運頗圈蟻丫盂庫嘶免久鉤糠綴下葷巧漲癸見瘤毛貌沫砒姐魄禹及迎鏈校夫育島廢狹妒庇升講周爐濟弱該摯馴烴蔣抱嘗渙灸涼蔣倚腦咨豺便涵榨裸鞏奪飯農(nóng)翼嘻設(shè)刊蚜礁層慣袍賊鄖眩泄跑媚莫德謄錯鋅覓 瓤底橡棘遇亡韌賄鴉辯保濘纖出批學請鑷貨圣筋歐材堅穿泵怪廁莽住寂旋橫臍咋忍置生莊系臼浪諸統(tǒng)鐘授襟椿輔橫吐所柬詛第踢誡標檀誓蘋乞削騰蒜什丁茶頑蛋宵瞄蛹堡擠媒巨挨絳謂頭財糜衣脊尤鈍怖蝦沫葬圓章柳謅懷化學院畢業(yè)論文 (設(shè)計 )任務(wù)書撼娛矣缽裙廣氦吐苦皖綽詫建竹你絲環(huán)受匪荊巧 語卡圃椽奧知墩惱泌由盈映錯鄂志吵撻戒腋掌禁輔榴鞠妄皆意。 printf(%d,N1)。in+1。i++) { x1[i]=x2[i]。 temp=fnum。 temp2=0。j++) { if (ji) temp1=a[i][j]*x2[j]+temp1。 while(bk!=1) { for(i=1。i++) { printf(b%d=,i)。 j++。i++) { j=1。i++) x2[i]=0。 /*printf(x1[%d]=,i)。 printf(chu shi xiang liang:\n)。n)。 int i,j,n,bk=0, N=1。 } printf(iterative number:\n)。 for(i=1。in+1。i++) { fnum=(fabs(x1[i]x2[i]))。 temp1=0。jn+1。 } printf(\n)。in+1。a[i][j])。in+1。in+1。 /*printf(x1[%d]=,i)。 printf(chu shi xiang liang:\n)。 printf(GaussSeidel Method:\n)。 printf(%d,N1)。in+1。i++) { x1[i]=x2[i]。 temp=fnum。 temp=0。i++) { for(j=1。a[i][n+1])。 for(i=1。 scanf(%f,amp。 for(i=1。 /* printf(x1[%d]=,i)。 printf(input chu shi xiang liang:\n)。 28 printf(Jacobi Method:\n)。 參考文獻 [1] 李慶揚，王能超，易大義 .數(shù)值分析 [M].北京：清華大學出版社， 2020:236~256. [2] 潭浩強，張基溫等編 .C 語言程序設(shè)計教程 [M].北京：高等教育出版社， 1998:112156. 26 [3] 徐長發(fā)，王邦 .實用計算方法 [M].武漢 .：華中科技大學出版社， 2020:93110. [4] 宋兆基，徐流美等編著 . 在科學計算中的應(yīng)用 [M].北京：清華大學出版社， 2020:390~395. [5] 韓丹夫，吳慶標 .數(shù)值計算方法 [M].浙江：浙江大學出版社， 2020:15154. [6] 周鐵，徐樹方等編著 . 計算方法 [M].北京：清華大學出版社， 2020:105~112. [7] 汪仲文 .解線性方程組的迭代方法之比較 [J].喀什師范學院學報 ,2020,29(6):22~25. [8] 李愛芹 .線性方程組的迭代解法 [J].科學技術(shù)與工程 .2020, 7(14):1~8. [9] 徐樹方，高立 .數(shù)值線性代數(shù) [M].北京：北京大學出版社， 2020:33162. [10] 劉新國 .數(shù)值代數(shù)基礎(chǔ) [M].青島：青島海洋大學出版社， 1996:75132. [11] 李維國，黃家炳，劉新海等 .數(shù)值計算方法 [M].北京 ：石油大學出版社 2020:2689. [12] 徐萃薇，孫繩武 .計算方法引論 [M].北京：高等教育出版社， 2020:190~193. [13] 楊萬利等編 .數(shù)值分析教程 [M].北京：國防工業(yè)出版社， 2020:42125. 致 謝 在本次論文撰寫過程中，何郁波老師對該論文從選題、構(gòu)思到最后定稿等，在各個環(huán)節(jié)給予了細心與耐心的指引和教導(dǎo)，使我得以最終完成畢業(yè)論文設(shè)計，在何老師的輔導(dǎo)學習中，老師嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度、豐富淵博的知識、精益 27 求精的工作態(tài)度和 誨人不倦的師者風范是我終生學習的 楷模。 4 結(jié)果分析 Jacobi 法計算公式簡單 計算時不需要 新計算出的變量值， GaussSeidel法 是 Jacobi 法的一種改進 。 q1=q。 j=q/(p39。NUM1000) NUM=NUM+1。 %NUM 用來記錄迭代次數(shù) r=bA*x, 24 q=r39。 b=A*X39。, A(1,n)=0。 end end A(1,:)=A(1,:)+F。 A=20.*A。 CG 算法為 22 000002 1 1 2 21 1 2 21 1 1 1 11 1 11 1 1。