中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽競賽大綱初稿(文件)
【正文】 5. 拉普拉斯(Laplace)展開定理.6. 克拉默(Cramer)法則.三、 線性方程組1. 高斯(Gauss)消元法、線性方程組的初等變換、線性方程組的一般解.2. n維向量的運(yùn)算與向量組.3. 向量的線性組合、線性相關(guān)與線性無關(guān)、兩個(gè)向量組的等價(jià).4. 向量組的極大無關(guān)組、向量組的秩.5. 矩陣的行秩、列秩、秩、矩陣的秩與其子式的關(guān)系.6. 線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結(jié)構(gòu).7. 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、解空間及其維數(shù)四、 矩陣1. 矩陣的概念、矩陣的運(yùn)算(加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算)及其運(yùn)算律.2. 矩陣乘積的行列式、矩陣乘積的秩與其因子的秩的關(guān)系.3. 矩陣的逆、伴隨矩陣、矩陣可逆的條件.4. 分塊矩陣及其運(yùn)算與性質(zhì).5. 初等矩陣、初等變換、矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.6. 分塊初等矩陣、分塊初等變換.五、 雙線性函數(shù)與二次型1. 雙線性函數(shù)、對偶空間2. 二次型及其矩陣表示.3. 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的配方法、初等變換法、正交變換法.4. 復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形的唯一性、慣性定理.5. 正定、半正定、負(fù)定二次型及正定、半正定矩陣六、 線性空間1. 線性空間的定義與簡單性質(zhì).2. 維數(shù)，基與坐標(biāo).3. 基變換與坐標(biāo)變換.4. 線性子空間.5. 子空間的交與和、維數(shù)公式、子空間的直和.七、 線性變換1. 線性變換的定義、線性變換的運(yùn)算、線性變換的矩陣.2. 特征值與特征向量、可對角化的線性變換.3. 相似矩陣、相似不變量、哈密爾頓凱萊定理.4. 線性變換的值域與核、不變子空間.八、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.2. 行列式因子、不變因子、初等因子、矩陣相似的條件.3. 若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.九、 歐氏空間1. 內(nèi)積和歐氏空間、向量的長度、夾角與正交、度量矩陣.2. 標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交矩陣、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 歐氏空間的同構(gòu).4. 正交變換、子空間的正交補(bǔ).5. 對稱變換、實(shí)對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形.6. 主軸定理、用正交變換化實(shí)二次型或?qū)崒ΨQ矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形.7. 酉空間.Ⅲ、解析幾何部分一、向量與坐標(biāo)1. 向量的定義、表示、向量的線性運(yùn)算、向量的分解、幾何運(yùn)算.2. 坐標(biāo)系的概念、向量與點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的代數(shù)運(yùn)算.3. 向量在軸上的射影及其性質(zhì)、方向余弦、向量的夾角.4. 向量的數(shù)量積、向量積和混合積的定義、幾何意義、運(yùn)算性質(zhì)、計(jì)算方法及應(yīng)用.5. 應(yīng)用向量求解一些幾何、三角問題.二、軌跡與方程：普通方程、參數(shù)方程(向量式與坐標(biāo)式之間的互化)及其關(guān)系..、應(yīng)用向量建立簡單曲面、曲線的方程.、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程.三、平面與空間直線、直線方程的各種形式，方程中各有關(guān)字母的意義.，選用適當(dāng)方法建立平面、直線方程.，判定平面與平面、直線與直線、平面與直線間的位置關(guān)系.4. 根據(jù)平面和直線的方程
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