根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型(文件)
【正文】 ,該系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)也是非唯一的。 圖 213 系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖 多輸入多輸出線性系統(tǒng) (4/5) ? 取每個(gè)積分器的輸出為一個(gè)狀態(tài)變量 ,如圖 213所示。 非線性系統(tǒng) (2/10) ? 圖 214為某一級(jí)倒立擺結(jié)構(gòu)示意圖。 ? 其控制任務(wù)是由電機(jī)通過(guò)皮帶施加合適的力 f給小車從而使桿不倒 ,并使小車不超過(guò)左右邊界。 u為作用在驅(qū)動(dòng)電機(jī)上的電壓 ,其為控制變量 。 為小車的水平速度 ,由與電機(jī) x? 為桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 ,由安裝在小車上并與桿的基座相連的電位計(jì)測(cè)得的信號(hào)經(jīng)微分而得 。 z?????????????01000001x?。 ? 因此 ,常將非線性模型在其平衡點(diǎn) (工作點(diǎn) )附近對(duì)其進(jìn)行 Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)至一階線性方程 ,以獲得簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型 ,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)分析與控制 。 ?m , l擺 桿小 車皮 帶電 機(jī)導(dǎo) 軌 連接的電位計(jì)測(cè)得的信號(hào)經(jīng)微分而得 。 非線性系統(tǒng) (4/10) ? 解 通過(guò)對(duì)滑輪小車和擺竿的受力分析和推導(dǎo) ,且忽略交流電機(jī)的動(dòng)特性并且假設(shè)交流電機(jī)由 u到 f的靜態(tài)增益為 1,得到倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)描述如下 : ?m , l擺 桿小 車皮 帶電 機(jī)導(dǎo) 軌其中 ?c是小車與導(dǎo)軌的摩擦系數(shù) 。 ? 該系統(tǒng)中還有一個(gè)電機(jī) ,一根連接電機(jī)與小車的皮帶和一些滑輪。 ? 其結(jié)構(gòu)和飛機(jī)著陸、火箭飛行及機(jī)器人的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)等有很多相似之處 ,因而對(duì)倒立擺系統(tǒng)平衡的控制方法在航空及機(jī)器人等領(lǐng)域有著廣泛的用途 ,人們對(duì)倒立擺控制的研究也越來(lái)越感興趣。 多輸入多輸出線性系統(tǒng) (2/5) ? 因此 ,該系統(tǒng)的方程也可表示為 ?????????????241423223121122111ubyayayubububyayay?????? 對(duì)每一個(gè)方程積分 ,直至消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)為止。 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換 (10/13) 1 s s1 x3 x6 x5 x4 x2 x1 k11 k12 k13 k41 k52 k51 u y 1 s s5 1 s s5 1 s s4 1 s s1 1 s s1 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換 (11/13)例 24 ? 例 24 用部分分式法將例 22中微分方程對(duì)應(yīng)的下述傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型 48524142)(232??????ssssssG傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換 (12/13) ? 解 由系統(tǒng)特征多項(xiàng)式 s3+5s2+8s+4 可求得系統(tǒng)有二重極點(diǎn) s1=2和單極點(diǎn) s2=1,于是有 3311122111)()( ssksskssksG??????其中 12)]1)(([10])2)(([dd4])2)(([13122122211?????????????????sssssGkssGskssGk傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換 (13/13) ? 故 當(dāng)選擇狀態(tài)變量為 G(s)分式串 并聯(lián)分解的各個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的輸出 ,可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型 ? 將上述結(jié)果與例 22的結(jié)果相比較可知 ,可再次驗(yàn)證“ 狀態(tài)空間模型不具有唯一性 ”。 ? 如何選擇狀態(tài)變量 ? ? 考慮到 ,輸出 y(t)和輸入 u(t)的拉氏變換滿足 )()()()()()()()()()()()(552255144111321123111sUssksUssksUssksUssksUssksUssksUsGsY???????傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換 (5/13) ? 選擇狀態(tài)變量 xi(t)使其 拉氏變換滿足 )(1)()()(1)()(1)()(1)()()(1)()()(1)(562554413212311sUsssXsUsssXsUsssXsUsssXsUsssXsUsssX??????? 則有 )(1)()( 11)( 212111 sXsssUsssssX ???傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換 (6/13) 即有 ? 則經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為 1 2 2 3 31 1 1445 6 6551 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( )11( ) ( ) ( ) ( )X s X s X s X s X s U ss s s s s sX s U sssX s X s X s U ss s s s? ? ????1 1 1 2 2 1 2 3 3 1 34 4 45 5 5 6 6 5 6x s x x x s x x x s x ux s x ux s x x x s x u? ? ? ? ? ???? ? ? ?傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換 (7/13) ? 相應(yīng)地 ,系統(tǒng)輸出 y(t)的拉氏變換為 Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s) 經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程 y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換 (8/13) ? 因此 ,整理可得如下矩陣描述的狀態(tài)空間模型 11145511 12 13 41 51 521 01 0111 01[]ssssssk k k k k k?? ???? ???? ???? ??? ???? ???? ???? ???? ?????????x x uyx傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換 (9/13) ? 上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個(gè)重要特征 ,即 A為 塊 對(duì)角矩陣 ,且每個(gè)矩陣方塊為只有一個(gè)重特征值的特定矩陣塊 (約旦塊 )。 ? 不失一般性 ,為清楚地?cái)⑹鲎儞Q方法 ,以下設(shè)系統(tǒng)特征方程有 6個(gè)根 ,其值分別為 s1,s1,s1,s4,s5,s5,即 s1為 3重極點(diǎn) ,s5為 2重極點(diǎn)。 ? 事實(shí)上 ,由推導(dǎo)可知 ,對(duì)角線規(guī)范形其實(shí)是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為 n個(gè)一階子系統(tǒng) (慣性環(huán)節(jié) )的并聯(lián) ,如右圖所示。 ? 將 G(s)的乘以 ss1,有 因此 ,由于特征根 s1,s2,…, sn互異，有 )(...))(( 12211 ssssksskksssGnn ???????? ?
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