考點(diǎn)解釋空間問題多種思維方法探究(文件)
【正文】 (1)設(shè)∵，∴即解得即 (2) 設(shè)平面FAC1的一個法向量為n1＝(x1，y1，1)．∵，由得又由，得∴ ∴．仿上可得平面ACC1的一個法向量為． ∵，∴ n1⊥n2．故二面角的大小為． (3)設(shè)平面AFC的一個法向量為n＝（x，y，1），由n⊥，得；又，由n⊥，得．解得 ∴n．∴C1到平面AFC的距離為如圖，已知長方體，直線與平面所成的角為，垂直于為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求異面直線與所成的角；（Ⅱ）求平面與平面所成二面角（銳角）的大?。唬á螅┣簏c(diǎn)到平面的距離解法一：（向量法）在長方體中，以所在直線為軸，所在直線為軸， 所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖．由已知，可得． 又平面，從面與平面所成的角即為又從而易得?。á瘢? 即異面直線、所成的角為（Ⅱ）易知平面的一個法向量 設(shè)是平面的一個法向量． 由 取 ∴即平面與平面所成二面角（銳角）大小為（Ⅲ）點(diǎn)A到平面BDF的距離，即在平面BDF的法向量上的投影的絕對值所以距離所以點(diǎn)A到平面BDF的距離為解法二：(幾何法)（Ⅰ）連結(jié)，過F作的垂線，垂足為K，∵與兩底面ABCD，都垂直，∴又 因此∴為異面直線與所成的角 連結(jié)BK，由FK⊥面得 從而 為 在 和中， 由得 又， ∴ ∴異面直線與所成的角為（Ⅱ）由于面由作的垂線，垂足 為，連結(jié)，由三垂線定理知∴即為平面與平面所成二面角的平面角且，在平面中，延長與；交于點(diǎn)∵為的中點(diǎn)，∴、分別為、的中點(diǎn) 即，∴為等腰直角三角形，垂足點(diǎn)實(shí)為斜邊的中點(diǎn)F，即F、G重合易得，在中，∴， ∴，即平面于平面所成二面角（銳角）的大小為（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面是平面與平面所成二面角的平面角所
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