【正文】 ；約數(shù)倍數(shù)還有那個平方數(shù)的特征。③ 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。當r≠0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）。 a+b。⑤兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)積。③質因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。p = ……1 如(1) p 是質數(shù)，且a和p互質 則：則ap1247。是數(shù)論中一個重要定理。 明朝程大位用歌謠給出了該題的解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓月正半，除百零五便得知。1M1b1＋…＋M39。直至18世紀 。 　　附：如70，其實是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。21是3和7的公倍數(shù)，且除以5余1。用歌訣解題容易記憶，但有它的局限性，只能限于用7三個數(shù)去除，用其它的數(shù)去除就不行了。為了使20被3除余1，用202=40；使15被4除余1，用153=45；使12被5除余1，用123=36。為了使56被3除余1，用562=112；使24被7除余1，用245=120。則〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。） 關于“中國剩余定理”類型題目的另外解法“中國剩余定理”解的題目其實就是“余數(shù)問題”，這種題目，也可以用倍數(shù)和余數(shù)的方法解決。看到那個“被6除余4，被7除余4”了么，有同余數(shù)的話，只要求出6和7的最小公倍數(shù)，再加上4，就是滿足后面條件的數(shù)了，6X7＋4＝46。46＋42＝8846＋42＋42＝13046＋42＋42＋42＝172這是一種形式的，它的前提是條件中出現(xiàn)同余數(shù)的情況，如果遇到沒有的，下面講例二，一個班學生分組做游戲，如果每組三人就多兩人，每組五人就多三人，每組七人就多四人，問這個班有多少學生？解法：題目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。大家可以試下. 所以：一共有5個 187 367 547 727 9071最值問題 考慮平均化和極端化兩數(shù)和一定，差小積大； 兩數(shù)積一定，差小和小三、幾何圖形幾何出題特點及趨勢： 淡化幾何幾大模型的直接考察 勾股定理頻繁現(xiàn)身幾何題中 方程（組）作用非比尋常歐拉公式 = 頂點 + 區(qū)域 = 邊數(shù) + 維數(shù) – 1平面圖形⑴多邊形的內角和N邊形的內角和=(N2)180176。(8)隱含條件的等價代換 例如弦圖中長短邊長的關系。圓的面積 ＝ 扇形面積＝ 圓的周長 ＝ 扇形周長＝ 一些特殊的圖形：（1）弓形：弓形通常只求面積，半圓是特殊的弓形；弓形面積＝扇形面積－三角形面積（除了半圓）（2）“彎角” ：彎角的面積＝正方形－扇形 （3）“谷子”：“谷子”的面積＝弓形面積2（5） 圓環(huán)面積： 環(huán)= （ ）（6） (7) “谷子”+ 四、典型應用題迎春杯特點：* 不會那么明顯、直接地出盈虧、雞兔同籠、倍比關系，會有變形和復雜的關系或陷阱* 畫圖時，對于賣掉、去掉、運走、增加一樣多等從左邊畫；* 高年級了，實在不好考慮，用方程做，一般求啥設啥為未知數(shù)（直接設），還可以間接設；1．植樹問題①開放型與封閉型②間隔與株數(shù)的關系2．方陣問題外層邊長數(shù)2=內層邊長數(shù) （即不論哪一層，每往里一層，每邊差2，每相鄰兩層的總數(shù)差8）（外層邊長數(shù)1）4=外周長數(shù)（即可以用螺旋法求每一層的總數(shù)，其他形狀的隊列也一樣）外層邊長數(shù)2中空邊長數(shù)2=實面積數(shù)，（即正方形、長方形的有時可以轉換成面積）3．列車過橋問題①車長+橋長=速度時間②車長甲+車長乙=速度和相遇時間③車長甲+車長乙=速度差追及時間列車與人或騎車人或另一列車上的司機的相遇及追及問題車長=速度和相遇時間車長=速度差追及時間4．年齡問題（1）牢記：年齡差不變；如果變了，一定有特殊的年齡情況，一定要找問題的關鍵，比如XX年沒有某人沒有出生等等；（2）年齡增加數(shù)一樣；年齡倍數(shù)是變的5．雞兔同籠假設法的解題思想、方程的方法常常會更簡單快，但解方程要準確，但可以兩種方法進行檢驗假設法：全都是一種動物。兩次分配差 （虧—虧）247。 線段圖、方程、比列法都是常用工具，有時候可以轉化成面積；252。 如果題目中未提示什么相遇，相遇包括迎面相遇和追及相遇；端點的相遇，即是迎面相遇又是追及相遇（4）變道：判斷相遇的大概位置，第一次的，和要求的那次的相遇的大概位置1．相遇問題路程和=速度和相遇時間2．追及問題路程差=速度差追及時間3．流水行船順水速度=船速+水速逆水速度=船速水速船速=（順水速度+逆水速度）247。時間一定，路程和速度成正比。1分 = 1格/分； 分清是追及還是相遇；一般畫個草圖，選擇整數(shù)點作為出發(fā)點；② 追及問題：（1） 時針、分針一次重合，與下一次重合間隔65； 0：00到12：00，時針、分針重合了11次（算頭不算尾）： 1260247。 需要綜合考慮，經常功虧一簣。 如何分步：按照完成題目要求的事情的順序，一步一步地；252。溶液）100% 有些題表面不是濃度問題， 但用濃度問題的方法來解，會非常簡單。 首先找題目中有無周期252。 周期：（總數(shù)搗亂分子）247。 求和公式、求項目的公式，即不住用植樹問題套，其實植樹問題就是等差數(shù)列問題252。 逆著算的問題252。對角線兩端數(shù)的和=2倍的中間數(shù)a＋b = c 每個角上都存在這樣的關系f ba e d c c十二、進制1． 二進制計數(shù)法① 二進制位值原則② 二進制數(shù)與十進制數(shù)的互相轉化③ 二進制的運算2． 其它進制（十六進制）3． 數(shù)越大，進制越小，可以和10進制比，判斷進制先判斷和10進制比，誰大誰小，然后看尾數(shù)差，然后找差的約數(shù)例：問在幾進制中125125 = 16324 在10進制中：125125 = 15625所以進制小于104. （1）進制互化，（2）進制的左右：去指（數(shù)）（31001）247。其主要思想就是盡量增強自己，消弱對方。 對策問題的2個最基本要素：（1） 局中人，在一場競賽或斗爭中的參與者（2） 策略：是指某一局中人的一個“自始至終通盤籌劃”的可行反感，在一局對策中，各個局中人可以有一個策略，也可以有多個策略；（3） 一局對策的得失：一局對策中，比賽成績的好壞我們稱之為“得失”，每個局中人在一局對策中的得失與全體局中人所財務的策略的優(yōu)劣有著直接的關系；方法： 倒推：找到自己的制勝點，也就是對方的郁悶點；利用分組的數(shù)學思想，搶占絕對制勝點；例如： 對稱：利用對稱思想，創(chuàng)造對等局面 損人利己法周期法，奇偶性、約數(shù)倍數(shù)① 搶報30② 放硬幣③ 報數(shù)：有余數(shù)，即余數(shù)≠0，先報贏無余數(shù)，即余數(shù)＝0，后報贏考慮：正確的第一步，每個回合怎么報？競賽問題，涉及體育比賽常識，會計算淘汰賽、單循環(huán)賽、雙循環(huán)賽的比賽場次，會畫點線圖來分析輸贏次數(shù)；會進行體育比賽有關的邏輯推理； 一個知識點：（1） 關于單循環(huán)賽，就是每兩個人之間都要比賽；（2） 單循環(huán)賽的場次的計算：例如10個人比賽或10隊比賽，共賽的場次： 9+8+......+2+1=45（場） 910247。奧數(shù)怎樣學才能考取高分呢？一、注意習慣的養(yǎng)成　　我們經常對學生們說，養(yǎng)成好的學習品質，擁有好的學習方法比學習知識本身重要得多，它是學好知識的前提。　　習慣的養(yǎng)成不是一朝一夕之功。而在奧數(shù)題中，一點小錯，往往是致命的。二、重視題目的每一個環(huán)節(jié)　　有些奧數(shù)題步驟很多，很多學生掌握了其中的某些環(huán)節(jié)，就認為沒問題了，而恰恰是某些重要的環(huán)節(jié)沒有去認真考慮，只知其然，不知其所以然。這對他們是一個鍛煉，也是一種督促?！　∮嗅槍π缘木毩暿墙鉀Q這一問題的最佳方法?！　∠嘈胚@樣的練習后，學生的知識是扎實的；方法是靈活的；思維是敏捷的。但光做了這些題，以后就對所學知識不聞不問，以為萬事大吉了，這是錯誤的。家長們也可適當選擇一些高質量的、綜合性的測試題，來讓學生做一下，尤其是一些有名的競賽卷，學生做起來積極性更高。不浮躁、不馬虎才能在做奧數(shù)題時不失分，得高分。這就是以點帶面的作用。這就要求大家養(yǎng)成定時復習的好習慣。關鍵是我們怎樣去解決這一問題?！　≡谶x題時，應既要注意坡度，又要兼顧廣度；既要注意已有知識的練習，又要注重利用所學知識去解決實際問題；既要注意基礎知識的積累，又要注重知識的深化與提高。而要讓其利用所學知識去解決實際問題，時機還不成熟?！　∫虼艘欢ㄒ寣W生養(yǎng)成嚴謹求實的習慣。是習慣方面的，要改正。只要是題目理解了，出點小錯沒關系?！　W數(shù)題對學生們的要求是非常嚴格的，你既要注意到思維有廣度有深度，在做題時還要加倍小心。從簡單情況入手：從簡大情況入手，充分體現(xiàn)了不會怎么辦？做不下去怎么辦？ 從簡單情況入手，可以簡單理解為找規(guī)律，但略有不同；要分析為什么有這樣的規(guī)律；從簡單情況入手，是種方法，并不是種題型，很多題型都會用到這個方法；另外補充說明：在華校課本六年級中有“棋盤上的數(shù)學”三講，其實是找規(guī)律類型，知識點涉及棋盤格，幾何，數(shù)論等，屬于綜合性問題。對于不同的游戲，有不同的必勝方法，當然，學習重點不是最后的必勝策略是什么，而是我們找到必勝策略的方法是什么。26 = (2……) 3247。an=a1qn1, an=amqnm(m≤n)中間項2=兩邊的乘積求和： S=借來還去：使2用于公比是2或1/2；一定主要借最小的，別忘了還；③ 裴波那契數(shù)列：④ 兔子序列：1 1 2 3 5 8 13⑤ 復合數(shù)列：一會變大，一會變?、?二級等差數(shù)列：⑦ 平方數(shù)列：……（3）最值問題① 最短線路② 最優(yōu)化問題十、算式謎找突破口，什么是突破口？就是那些一看到，就馬上知道填什么的地方，一般找的方法：末尾法（末位分析），首位法（高位分析），進位，借位，位數(shù)，估算，結合數(shù)論知識點，嘗試（考慮極端情況，如果不能，選擇次優(yōu)，一定要仔細，不要嫌繁瑣）已知數(shù)：一定要充分利用，通常也是突破口進位：有可能是3...... ，要看加數(shù)的個數(shù)，進位不會超過（加數(shù)的個數(shù)－－1）遇到有好多等式的：要從乘除找突破口位數(shù)：實際就是估算的思想，遇到未知的數(shù)字多，只知道位數(shù)的情況；位數(shù)代表一種取值的范圍，例 □□□ b a 6 6X ≦ 999 3 4 □□□ x ≦ 166 □□□ □□ □□□ 4 ≧ 100