通過公式的推導(dǎo),了解它們的內(nèi)在聯(lián)系能正確運(yùn)用這些公(文件)
【正文】 i n α ＋ c o s α ＝13， 平方得： 1 ＋ 2 s i n α c o s α ＝19， ∴ s i n α c o s α ＝－49. ∴ s i n 2 α ＝ 2 s i n α c o s α ＝－89， 又 ∵ si n α 、 c o s α 可看成方程 x2－13x －49＝ 0 的兩根， 第三章 三角恒等變換 解方程 x2－13x －49＝ 0 ，得 x1＝1 ＋ 176， x2＝1 － 176， ∵ α ∈ (0 ， π ) ， ∴ si n α 0 ， ∴ s i n α ＝1 ＋ 176， c o s α ＝1 － 176. ∴ c o s2 α ＝ c o s2α － si n2α ＝－179， t a n 2 α ＝si n 2 αc o s2 α＝8 1717. 第三章 三角恒等變換 證明的本質(zhì)問題實(shí)際上就是化簡(jiǎn) ． 其原則有以下幾點(diǎn)： 1． 觀察式子兩端的結(jié)構(gòu)形式 ， 一般是從復(fù)雜到簡(jiǎn)單 ， 如果兩端都比較復(fù)雜 ， 那就將兩端都化簡(jiǎn) ， 即采用“ 兩頭湊 ” 的思想 ． 2． 證明的一般步驟是：先觀察 ， 找出角 、 函數(shù)名稱 、 式子結(jié)構(gòu)等方面的差異 ， 然后本著 “ 復(fù)角化單角 ” 、“ 異名化同名 ” 、 變換式子結(jié)構(gòu) “ 變量集中 ” 等原則 ，設(shè)法消除差異 ， 達(dá)到證明的目的 ． 第三章 三角恒等變換 例 3 求證： ? si n x ＋ co s x － 1 ?? si n x － co s x ＋ 1 ?si n 2 x＝ t a nx2. [ 分析 ] ( 1 ) 左邊較復(fù)雜，從左邊入手，統(tǒng)一成右邊角x2. ( 2 ) 利用升冪公式將左邊分母變?yōu)?( si n x ＋ co s x ) 2 － 1 ，然后分子分母可約分得證． 第三章 三角恒等變換 [ 證法一 ] 左邊＝ ????????2 si nx2c o sx2－ 2 s i n2x2????????2 si nx2c o sx2＋ 2 s i n2x2si n 2 x ＝4 si n2x2 ????????c o s2x2－ s i n2x2si n 2 x＝4 si n2x2c o s x2 si n x c o s x ＝4 si n2x22 2 si nx2c o sx2＝ t a nx2＝ 右邊． 故原等式成立． 第三章 三角恒等變換 [ 證法二 ] 左邊＝ ? si n x ＋ c o s x － 1 ?? si n x － c o s x ＋ 1 ?? si n x ＋ c o s x ?2－ 1 ＝? si n x ＋ c o s x － 1 ?? si n x － c o s x ＋ 1 ?? si n x ＋ c o s x － 1 ?? si n x ＋ c o s x ＋ 1 ? ＝si n x ＋ 1 － c o s xsi n x ＋ 1 ＋ c o s x＝2 si nx2c o sx2＋ 2 s i n2x22 si nx2c o sx2＋ 2 c o s2x2 ＝2 si nx2 ????????co sx2＋ s i nx22 co sx2 ????????sinx2＋ co sx2＝ t anx2＝右邊． 第三章 三角恒等變換 變式訓(xùn)練 3 求證：1 ＋ s i n 4 θ － co s4 θ2 t an θ＝ 1 ＋ s i n 4 θ ＋ co s4 θ1 － t a n2θ. 第三章 三角恒等變換 [ 證明 ] 原等式等價(jià)于1 ＋ s i n 4 θ － co s4 θ1 ＋ s i n 4 θ ＋ co s4 θ＝ 2 t an θ1 － t a n2θ＝ t a n 2 θ ，該式左邊＝2 si n22 θ ＋ 2 s i n 2 θ co s2 θ2 co s22 θ ＋ 2 s i n 2 θ co s2 θ＝ 2 si n 2 θ ? si n 2 θ ＋ co s2 θ ?2 co s2 θ ? co s2 θ ＋ s i n 2 θ ?＝ t a n 2 θ ＝右邊．原式得證 . 第三章 三角恒等變換 例 4 (2022 c＝ 0 ，即 4 si n ( α ＋ β ) － 8 c o s( α ＋ β ) ＝ 0 ，因此 t a n ( α ＋ β ) ＝ 2. ( 2 ) 由 b ＋ c ＝ ( si n β ＋ c o s β ， 4 c o s β － 4 si n β ) ，得 |b ＋ c |2＝ si n2β＋ 2 si n β c o s β ＋ c o s2β ＋ 1 6 c o s2β － 3 2 c o s β si n β ＋ 1 6 s i n2β ＝ 17 －3 0 s i n β c o s β ＝ 17 － 1 5 si n 2 β ，當(dāng) s i n 2 β ＝－ 1 時(shí)取得最大值，最大值為 32 ，所以 |b ＋ c |的最大值為 4 2 . 第三章 三角恒等變換 第三章 三角恒等變換 aJ7F4C1z)wamp。spXlUiRfNcK9H5E2A+ x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1zw*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%spXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPe
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