【正文】 1 c o s ) 4 s in , 1 , 2 , 3 , ,22nn nna a n??? ? ? ? ? （ I）求 43,aa ，并求數(shù)列 ??na 的通項公式； （ II）設 1 3 2 1kkS a a a ?? ? ? ?， 2 4 2kkT a a a? ? ? ?， 2 ()2 kk kSW k NT ????， 求使 1kW? 的所有 k 的值，并說明理由。 2 分 證明：設 na 的公比為 11( 0)qq? ， nb 的公比為 22( 0)qq? ，則 1 1 1 21 1 1 0n n n n nn n n n nc b a b a qc a b b a q? ? ???? ? ? ?，故 nc 為等比數(shù)列． 5 分 （ Ⅱ ）數(shù)列 lnna 和 lnnb 分別是公差為 1lnq 和 2lnq 的等差數(shù)列． 用心 愛心 專心 由條件得 1112( 1 )ln ln22( 1 ) 21ln ln2nnn a qnn nn b q???? ??，即 11122 ln ( 1 ) ln2 ln ( 1 ) ln 2 1a n q nb n q n?? ?? ? ?． 12 5 , 12 6 4 5 。 （ Ⅲ ） ? ? ? ? ? ?211 1 2 2 1 12 2 2 2 2 2nnn n n n na a a a a a a a??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 112nn ?? ? ? 14． (天津 20)（本小題滿分 12 分） 已知 數(shù)列 ??na 中， 1 1a? ， 2 2a? ，且 11(1 )n n na q a qa??? ? ?( 2 0)nq?≥ ， ． （ Ⅰ ）設 1 ()n n nb a a n?? ? ? *N，證明 ??nb 是等比數(shù)列； （ Ⅱ ）求數(shù)列 ??na 的通項公式； （ Ⅲ ）若 3a 是 6a 與 9a 的等差中項，求 q 的值，并證明：對任意的 n?*N ， na 是 3na? 與 6na?的等差中項． （ Ⅰ ）證明：由題設 11(1 ) ( 2)n n na q a qa n??? ? ? ≥，得 11()n n n na a q a a??? ? ?， 即 1 2nnb qb n?? ， ≥ ． 又 1 2 1 1b a a? ? ? ， 0q? ，所以 ??nb 是首項為 1，公比為 q 的等比數(shù)列． （ Ⅱ ）解：由（ Ⅰ ）， 211aa??， 32a a q??， ? ? 21 ( 2 )nnna a q n???? ≥． 將以上各式相加，得 21 1 ( 2 )nna a q q n?? ? ? ? ?… ≥．所以當 2n≥ 時， 111111.nnq qa qnq?? ????? ??? ??， ， 上式對 1n? 顯然成立． （ Ⅲ ）解：由（ Ⅱ ），當 1q? 時，顯然 3a 不是 6a 與 9a 的等差中項，故 1q? ． 由 3 6 9 3a a a a? ? ? 可得 5 2 2 8q q q q???，由 0q? 得 用心 愛心 專心 3611qq??? ， ① 整理得 3 2 3( ) 2 0qq? ? ?，解得 3 2q ?? 或 3 1q? （舍去） ． 于是 3 2q?? ． 另一方面， 2 1 1 33 ( 1 )11n n nnn q q qa a qqq? ? ?? ?? ? ? ???， 1 5 1 66 (1 )11n n nnn q q qa a qqq? ? ?? ?? ? ? ???． 由 ① 可得 36n n n na a a a n??? ? ? ? *N，． 所以對任意的 n?*N ， na 是 3na? 與 6na? 的等差中項 ． 15．（浙江 18）（本題 14 分）已知數(shù)列 ??nx 的首項 1 3x? ，通項 2nnx p nq??（ ,n N p q??為常數(shù)），且 1 4 5,x x x 成等差數(shù)列，求： （Ⅰ） ,pq的值； （Ⅱ）數(shù)列 ??nx 的前 n 項的和 nS 的公式。nS ?? ? 的取值范圍為 ( , 6).??? 18． (陜西 20)（本小題滿分 12 分） 已知數(shù)列 {}na 的首項1 23a?，1 2 1nn naa a? ? ?， 1,2,3,n? ?． （Ⅰ）證明：數(shù)列 1{ 1}na?是等比數(shù)列； （Ⅱ）數(shù)列 {}nna 的前 n 項和 nS ． 解：（Ⅰ） 1 2 1nn naa a? ? ?， ? 111 1 1 12 2 2nn n naa a a??? ? ? ?， ? 11 1 11 ( 1)2nnaa? ? ? ?，又1 23a?， ?1111 2a ?? ， ?數(shù)列 1{ 1}na?是以為 12 首項， 12 為公比的等比數(shù)列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知111 1 1 11 2 2 2nnna ?? ? ? ? ?，即 1112nna ??， ?2nnnnna ??． 設231 2 32 2 2nT ? ? ? ?? 2nn， ① 則231 1 22 2 2nT ? ? ??1122nn????，② 由① ? ②得 21 1 12 2 2nT ? ? ??1 1 111( 1 )1122 112 2 2 2 212nn n n n nn n n? ? ??? ? ? ? ? ? ??， ?112 22n nnnT ?? ? ?．又 1 2 3? ? ? ? ( 1)2nnn ??? ． ?數(shù)列 {}nna 的前 n 項和 22 ( 1 ) 4 22 2 2 2 2n nnn n n n n nS ? ? ? ? ?? ? ? ? ?． 。 （Ⅱ）若 122 2 4na a a? 對 n≥ 2 恒成立，求 a2的值 . 用心 愛心 專心 解：（ I）因 a1=2,a2=22,故 由此有 a1=2(2)0, a2=2(2)4, a3=2(2)2, a4=2(2)3, 從而猜想 an的通項為 *)N(2 1)2( ?? ?? na nn , 所以 a2xn= xn2)2(2? . (Ⅱ )令 xn= a2=2x2,故只需求 x2的值。12 9 , 12 10 4 4 。12 分 11． (山東 20)（本小題滿分 12 分） 將數(shù)列 ??na 中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表： 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 記表中的第一列數(shù) 1 2 4 7a a a a， ， ， ，構成的數(shù)列為 ??nb ， 111ba??． nS 為數(shù)列 ??nb 的前n 項和，且滿足22 1( 2 )nn n nb nb S S ?? ≥． 用心 愛心 專心 （ Ⅰ ）證明數(shù)列 1nS??????成等差數(shù)列，并求數(shù)列 ??nb 的通項公式； （ Ⅱ ）上表中，若從第三行起，第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)．當81 491a ??時，求上表中第 ( 3)kk≥ 行所有項的和． （ Ⅰ ）證明：由已知，當 2n≥ 時，22 1nn n nbb S S ??， 又 12nnS b b b? ? ? ?， 所以 1212 ( ) 1()nnn n n nSSS S S S??? ???， 即 112( ) 1nnnnSSSS??? ?? ， 所以11 1 12nnSS???， 又 1 1 1 1S b a? ? ? ． 所以數(shù)列 1nS??????是首項為 1，公差為 12 的等差數(shù)列． 由上可知 1 1 11 ( 1)22n nnS ?? ? ? ?， 即 21nS n? ?． 所以當 2n≥ 時，1 2 2 21 ( 1 )n n nb S S n n n n?? ? ? ? ? ???． 因此 1122( 1)nnb nnn???? ?????， 　 　 　 　 ， ．≥ （ Ⅱ ）解：設上表中從第三行起，每 行的公比都為 q ，且 0q? ． 因為 1 2 1 31 2 1 2 7 82?? ? ? ? ?， 所以表中第 1 行至第 12 行共含有數(shù)列 ??na 的前 78 項， 故 81a 在表中第 13 行第三列， 用心 愛心 專心 因此 281 13 491a b q? ? ?． 又13 213 14b ?? ?， 所以 2q? ． 記表中第 ( 3)kk≥ 行所有項的和為 S ， 則 ( 1 ) 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) ( 3 )1 ( 1 ) 1 2 ( 1 )k k kkbqSkq k k k k? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ≥． 12． （上海 2