【正文】 插值方法補全數(shù)據(jù)，以使所得數(shù)據(jù)能盡可能地反映客觀 實際 。此外，考慮到樣本 信息缺乏、 數(shù)據(jù)較少，建立了灰色系統(tǒng) GM(1,1)模型，利用 Matlab 軟件 編程求解部分影響因素 的 中短期預測 值 ，并與前面的模型進行分析比較，驗證了預測的合理性。由此可見，要將人口控制在 15億左右 ，必須嚴格控制生育胎次，即 ( ) ? ? 。 2 關鍵詞： 人口預測 ； 回歸分析 ； 時間序列 ； 灰色 預測 ； 控制論 一、 問題重 述 人口數(shù)量、質量和年齡分布 等因素 直接影響一個 國家或 地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展、資源分配、社會保障、社會穩(wěn)定和城市活力。準確的人口預測為制定合理的社會經(jīng)濟發(fā)展規(guī)劃提供了科學依據(jù)。 目前 ，我國正面臨著比 20 世紀更為復雜的人口發(fā)展形勢。 近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。 二、 模型 假設 1. 題中所給數(shù)據(jù)是在年終統(tǒng)計的； 2. 假設中短期預測是 10 年，長期預測是 50 年； 3. 假設短期內社會狀況沒有大的波動 ； 4. 在長期預測時， 把研究的社會人口當作一個整體，當作一個系統(tǒng)考慮； 3 5. 把時間的流逝，嬰兒的出生，人口的死亡和居民的遷移看成是人口狀態(tài)變化的全部因素 ； 三、 符號說明 t —— 年份 ； ? —— 人口增長率 ； r — — 人口 年齡 ； mr —— 人的最高壽命 ； ()Nt —— 第 t 年 該地區(qū)人口的總數(shù) ； (, )Frt —— 人口函數(shù) ， 該函數(shù)表示在 t 時刻該地區(qū)一切年齡小于 r 的 比率 ； (, )Prt —— 人口年齡分 布密度函數(shù) ， 該函數(shù)表示在 t 時刻，年齡為 r 的 比率 ； ( , )Mrt —— 人口死亡分布函數(shù) ， 表示在 t 時刻該地區(qū)年齡為 r 的人的死亡數(shù) 比率 ； (, )rt? —— 相對死亡率 ， ( , )( , ) ( , )M r trt P r t? ? ； (, )krt —— 女性在人口中所占的比例 ； (,)brt —— 第 t 年 平均每個 r 歲的女性的生育數(shù) ； ()ixt—— 人口比率 ； )(tdi —— 人口平均死亡率 ； ih(t) —— i 歲女性總生育率 ； )(tki —— 第 t 年 i 歲人口的女性比（占全部 i 歲人口數(shù)） ； )(tbi —— 第 t 年 i 歲女性的生育率 ， 即每位女性平均生育嬰兒數(shù) ； 四、 問題分析 問題 背景的理解 本問題是 在 我國人口 老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等 實際情況下提出的，這就要求我們 必須 充分考慮各因素對人口增長率的影響， 然后 建立綜合預測模型對我國人口國情進行刻畫。 圖 1 所示 為 過去五年內我國 65 歲以上居民的人口密度走勢圖。 1001051101151201251301 2 3 4市男女出生比例（女100計）鎮(zhèn)男女出生比例（女100計）鄉(xiāng)男女出生比例（女100計） 圖 2 過去四年間市鎮(zhèn)鄉(xiāng)男女出生比例條形圖 從 圖 2 可以看出，市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)男 性 的出生比例都大于女 性 ，而且這種現(xiàn)象在鎮(zhèn)和鄉(xiāng)中更為明顯。 01 2 3 4 5市人口鎮(zhèn)人口鄉(xiāng)人口 圖 3 過去五年內城鎮(zhèn)鄉(xiāng)人口比例的走勢圖 對建立人口預測模型的分析 由于受疾病、事故、自然災害，國家計劃生育政策以及傳統(tǒng)思想等不確定性因素的綜合影響，人口增長率變化錯綜復雜，呈現(xiàn)出一定的非線性特征，人口增長的預測也就變 得 復雜困難。 出于以上考慮 ，本文分別對中短期預測與長期趨勢預測建立不同的數(shù)學模型： 1）針對人口增長的中短期 趨勢 預測 ， 分別 建立 logistic（邏輯斯 蒂 ） 回歸預測模型 、時間序列 AR(p)模型 以及灰色 預測 GM(1,1)模型 進行求解 ； 2）針對人口增長的 長期趨勢 預測 ， 建立 人口控制論模型 ，綜合考慮各因素對人口增長的長期影響 。根據(jù)模糊數(shù)學隸屬函數(shù)的處理原則，對于數(shù)據(jù)越大越好的效益型指標，可用式（ ）進行處理：對于數(shù)據(jù)越小越好的成本型指標，可用式（ ）進行處理。 回歸 預測模型 回歸 預測 模型 的建立 利用處理后的數(shù)據(jù)，我們首先用 SPSS 軟件 進行曲線擬合與參數(shù)估計，通過對各統(tǒng)計量的分析和比較，最終 得出 回歸 預測 方程 。 現(xiàn)以鎮(zhèn)人口比率為例，比較幾種擬合程度較好的曲線模型。從比率變化的速度來看，市增加較慢，鎮(zhèn)增加較快，這說明鄉(xiāng)村人口首先向鎮(zhèn) 轉移 ，且 轉移 速度較快，符合實際情況。在這個模型中，時間序列的現(xiàn)在值是用該序列過去數(shù)值的線性組合加上一個白噪聲擾動項來表示。 計算中從低到高估計模型參數(shù)，采用 AIC 準則判斷最優(yōu)階次。由于事先無法判斷模型的階次，因此在建模過程中 ，首 先給定模型的階次，然后再按上面所述的最小二乘法估 計出 AR 模型的參數(shù)，得到各階模型。 AR(3)模型 ： 1 1 2 2 3 3t t t t tY c Y Y Y? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? （ ） 用來預測市男女出生比率。這與近 20 年來國家實施 的 計劃生育政策密不可分。 表 六 2020 年 — 2020 年 的 65 歲以上人口比率預測表 10 年份 65 歲以上市人口比率 65 歲以上鎮(zhèn)人口比率 65 歲以上鄉(xiāng)人口比率 2020 2020 2020 2020 2020 表 七 2020 年 — 2020 年 的 60 歲以上人口比率預測表 年份 60 歲以上市人口比率 （ %） 60 歲以上鎮(zhèn)人口比率 （ %） 60歲以上鄉(xiāng)人口比率 （ %） 2020 2020 2020 2020 2020 有 表 六 、 七 可知 ，市和鎮(zhèn)的老齡化現(xiàn)象不及鄉(xiāng)村，且鄉(xiāng)村的老齡化現(xiàn)象還有增加趨勢，說明鄉(xiāng)村生活環(huán)境 的 改善與醫(yī)療衛(wèi)生水平的提高。 1．令 )0(x 為 GM（ 1， 1）建模序列，表示灰導數(shù) )),() , .. .,2(),1(( )0()0()0()0( nxxxx ? 其中 )()()0( kxkx ? ， ...3,2,1?k 2．令 )1(x 為 )0(x 的 AGO 序列， 11 )),() , .. . ,2(),1(( )1()1()1()1( nxxxx ? )。 表 九 2020 年 — 2020 年 的 男女出生比例預測表 年份 市 男女出生比例 鎮(zhèn) 男女出生比例 鄉(xiāng) 男女出生比例 全國 男女出生比例 2020 2020 2020 2020 2020 從 表 九 可以看出，鎮(zhèn)和鄉(xiāng)的男女出生比例高于城市，各項目的男女出生比例均有微小增長趨勢。 設 (, )Prt 為 人口年齡分布密度函數(shù) ， ( , ) FP r t r?? ? ， 該函數(shù)表示在 t 時刻，年齡為 r 的人數(shù) 。 15 它反映了人口變化的基本因素 ； (, )hrt 表示 一個女性在 r 歲時的生育概率 。 0 , 1 , 2 , .. .. ..ix t i m t??， （ 3） 設第 t 年為 i 歲的人口平均死亡率為 )(tdi ，即這一年中 i 歲人口中死亡數(shù)與基數(shù)之比：)( )1()()( 1tx txtxtd i iii ??? ? 即： 1 ( 1 ) ( 1 ( ) ) ( ) , 0 , 1 , 2 , .. ., 1 。 程序預測的是未來 N 年的 ()i tx ，利用公式 9065 ()() ii xtyt ??? 可求出第 t 年全國總人口率 ； 利用公式 9060 ()() ii xtyt ??? 可求出第 t 年大于 60 歲的人口比率 ； 利用公式 9065 ()() ii xtyt ??? 可求出第 t 年大于 65 歲的人口比率。 但 是， Logistic 回歸 模型有著根本上的缺點：它將群體中的每一個個體都視為同等 20 地位來對待，沒有考慮到個體之間存在著差異，以及年齡因素的影響。 時間序列 AR(p) 模型 結果分析 AR 模型的估計與實際數(shù)據(jù) 比較 接近 ,模型能很好地描述人口總體的波動情況 ，并且可以平穩(wěn)預測，這一優(yōu)點體現(xiàn)得十分明顯 。 灰色系統(tǒng) GM(1,1)預測模型 結果分析 與 AR(p)模型不同的是， GM(1,1)模型主要反映的是人口發(fā)展的短期趨勢 。 將模型求得的結果與最新發(fā)布的《 國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告 》的部分數(shù)據(jù)進行對比，整理成下表： 年份 模型預測值 報告預測值 相對誤差 2010 8 274 2020 6 044 2033 5 15 102 容易看出，模型的預測值與研究報告的預測值 十分吻合。如何得出參數(shù)函數(shù)，也是本文的重點。隨后， 從基于宋健等提出的人口動力系統(tǒng)微分方程，即人口發(fā)展方程出發(fā)，根據(jù)我國實際情況，對人口動力系統(tǒng)中的死亡率函數(shù)、生 育率函數(shù)等參數(shù)函數(shù)進行了分析討論 和 預測， 帶入人口 控制模型 中 ，即可 計算出相應人口狀況 和各種人口 發(fā)展 指數(shù) 。而且我國現(xiàn)在已經(jīng)進入社會老齡化階段，老年人的撫養(yǎng)問題、生活問題、衛(wèi)生醫(yī)療問題也接踵而來，這些 問題在我國局部地區(qū)已經(jīng)變得很嚴重，已經(jīng)嚴重影響到社會正常 發(fā)展，引發(fā)了一系列社會問題，造成社會不安，這是各級政府需要重視 并加以解決的。 九 、 參考文獻 [1] 姜啟源 ,謝金星 ,葉俊 .數(shù)學模型 (第三版 ).高等教育出版社 ..2020. 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