例談變形技巧在數(shù)學解題中的應用畢業(yè)論文-wenkub
2023-07-10 20:57:01 本頁面
【正文】 在實踐中靈活使用 . 例 6 解不等式 2 1xx??. 分析 : 可以采用兩種方法來解決這道題 , 代數(shù)法和圖像法 . 利用代數(shù)法求解時 , 分 0x? 和 0x? 兩種情形討論 。 將任一個方程的常數(shù)倍加到另一個方程上 , 其余不變 . 需要注意的是 : ① 方程兩邊同時加上或減去同一個分 式不是同解變形 , 如方程 5 4 1xx??的兩邊都加 上 11x? , 得 115 4 1xxxx? ? ? ???,原方程的解為 1x?? , 而變形后的方程無解 . ② 方程兩邊同時乘以 0 不是同解變形 , 如方程 51x? 的兩邊都乘以 0 , 得 5 0 1 0x? ? ? , 即 00? , 此方程的解為任何實數(shù) , 而原方程的解為 15 . ③ 方程兩邊同時乘以或除以同一個整式不是同解變形 , 如方程 3 2 1xx??的兩邊都乘 以 x , 得 2232x x x??, 原方程的解為1x?? , 而變形后的方程解為 1 1x?? , 2 0x? . ④ 方程兩邊平方不是同解變形 , 如方程 31x? , 兩邊平方 , 得 291x? , 原方程的解為 13x? , 而變形后的方程解為1 13x?, 2 13x ??. 二、變形技巧在一元二次方程中的應用 學 生在平時學習中不善于積累變形經(jīng)驗 , 在稍復雜的問題面前常因變形方向不清 , 導致 問題難以解決 , 有些含有或可轉(zhuǎn)化為一元二次方程的代數(shù)問題 , 能對方程進行適當變形并施 以代 5 換 , 常常可使問題化繁為簡 .[3] 下面列舉說明 . 例 1 已知 m ,n 是方程 2 10xx? ? ? 的兩根 , 求 4 3mn? 的值 . 分析 : 作為方程 2 10xx? ? ? 兩根 , m ,n 地位是平等的 , 而所求式子中 m,n 的次數(shù)相差懸殊 , 應設(shè)法將 4m 的次數(shù)降下來 , 由2 10mm? ? ? , 得 2 1mm??, 從左向右次數(shù)降低了 , 對 4m 可進行連續(xù)降次 , 最終降為一次 , 即 4 2 2 2( 1 ) ( 1 ) 2 1 1 2 1 3 2m m m m m m m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 于是 4 3 3 3 2 3 ( ) 2m n m n m n? ? ? ? ? ? ?, 所以只要求出 m? n 即可 . 解 : 因為 m是方程 2 10xx? ? ? 的根 , 所以 2 10mm? ? ? , 即2 1mm??, 則 4 2 2( 1 ) 2 1 1 2 1 3 2m m m m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 所以 4 3 3 2 3 3 ( ) 2m n m n m n? ? ? ? ? ? ?, 又因為 m ,n 是方程 2 10xx? ? ? 的兩根 , 由韋達定理得 1mn??, 于是 4 3 3 ( ) 2 3 1 2 5m n m n? ? ? ? ? ? ? ?. 本題若按步就搬地求出 m ,n 的值 , 則計算較復雜 , 而且容易出錯 , 而通過變形的技巧先從結(jié)論出發(fā) , 轉(zhuǎn)換思維 , 則可以提高解題的效率 , 節(jié)省時間 , 把握好問題之間的潛在問題 . 例 2 已知 a ,b 是一元二次方程 2 20xx 8 0xx? ? ?的兩個根 , 求 22( 1998 7 ) ( 20xx 9)a a b b? ? ? ?的值 .[3] 分析 : 觀察所要求的表達式 , 表達式較復雜 , 即使求出 a ,b的值代入 , 計算也較難進行 , 所以應考慮將表達式變形成 與 6 2 20xx 8 0xx? ? ?有關(guān)的式子 , 巧妙運用韋達定理 , 不必分別求出2 1998 7aa??和 2 20xx 9bb??的值 . 解 : 由 a ,b 是一元二次方程 2 20xx 8 0xx? ? ?的兩個根 , 可得 2 20xx 8 0aa? ? ?, 2 20xx 8 0bb? ? ?, 及 20xxab? ?? , 8ab? , 則 22( 1998 7 ) ( 20xx 9)a a b b? ? ? ? ( 20 00 8 2 1 ) ( 20 00 8 2 1 )a a a b b b? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 1)(2 1)ab? ? ? ? 4 2( ) 1ab a b? ? ? ? ? 32 4000 1?? ? ? 3967? . 在解決一元二次方程的代數(shù)問題時 , 要認真觀察已知條件和所要求的式子 , 考察它們之 間有什么關(guān)聯(lián) , 再充分利用已知條件來解決所要求的問題 . 同時是要靈活應用韋達定理 : 即 如果1x , 2x 為方程 2
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