第1章-11-131推出與充分條件、必要條件-wenkub
2022-11-28 17:16:13 本頁面
【正文】 的充要條件，記作 . p 是 q 的充要條件，又常說成 “ ” 或 “ ” . p?q q?p p?q q當(dāng)且僅當(dāng) p p與 q等價(jià) 充分條件、必要條件、充要條件的判斷 ( 1) ( 2020 b |＝ | a || b a ， b ＝ | a || b |， ∴ a ， b ＝ 1 ， ∴ a ， b ＝ π 或 0 ， ∴ a ∥ b ，即 | a b |＝ | a || b |” 是 “ a ∥ b ” 的充分必要條件． ( 2) 若 a ＞ b ＋ 1 ，則 a ＞ b 一定成立；但若 a ＞ b ， a ＞ b ＋ 1 不一定成立，因此 “ a ＞ b ＋ 1 ” 是 “ a ＞ b ” 的一個(gè)充分不必要條件； 若 a ＞ b － 1 ，則 a ＞ b 不一定成立，不是充分條件； 若 a2＞ b2，則 a ＞ b 不一定成立，不是充分條件； 若 a3＞ b3，則 a ＞ b 一定成立 ；若 a ＞ b ，則 a3＞ b3也一定成立，因此 “ a3＞ b3” 是 “ a ＞ b ” 的一個(gè)充要條件． 【答案】 ( 1) C ( 2) A 充分條件、必要條件和充要條件反映了條件 p 與結(jié)論 q 之間的因果關(guān)系，在具體判斷時(shí)，常用如下方法： ( 1) 定義法： ① 若 p ? q ，但 q ? / p ，則 p 是 q 的充分不必要條件； ② 若 q ? p ，但 p ? / q ，則 p 是 q 的必要不充分條件； ③ 若 p ? q ，且 q ? p ，則 p 是 q 的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件； ④ 若 p ? / q ，且 q ? / p ，則 p 是 q 的既不充分也不必要條件． ( 2) 集合法： 如果 p ， q 分別以集合 A 、集合 B 的形式出現(xiàn)，那么 p ， q 之間的關(guān)系可以借助集合知識(shí)來判斷． ① 若 A ? B ，則 p 是 q 的充分條件； ② 若 A ? B ，則 p 是 q 的必要條件； ③ 若 A ＝ B ，則 p 是 q 的充要條件； ④ 若 A ? B ，且 B ? A ，則 p 既不是 q 的充分條件，也不是 q 的必要條件，即 p 是 q 的既不充分也不必要條件． ( 3) 等價(jià)法： 當(dāng)某一命題不易直接判斷條件與結(jié)論的充要關(guān)系時(shí)，可以利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性來判斷，即判斷其逆否命題是否成立． (1) 設(shè) φ ∈ R ，則 “ φ ＝ 0 ” 是 “ f ( x ) ＝ c os( x ＋ φ )( x ∈ R ) 為偶函數(shù) ” 的 ( ) A ．充分而不必要條件 B ．必要而不充分條件 C ．充分必要條件 D ．既不充分也不必要條件 ( 2) 設(shè)集合 A ， B ，則 A ? B 是 A ∩ B ＝ A 成立的 ( ) A ．充分不必要條件 B ．必要不充分條件 C ．充要條件 D ．既不充分也不必要條件 【解析】 ( 1) 若 φ ＝ 0 ，則 f ( x ) ＝ c os x 是偶函數(shù)，但是若 f ( x ) ＝c os( x ＋ φ )( x ∈ R ) 是偶函數(shù)，則 φ ＝ π 也成立．故 “ φ ＝ 0 ” 是 “ f ( x ) ＝c os( x ＋ φ )( x ∈ R ) 為偶函數(shù) ” 的充分而不必要條件． ( 2) 由 A ? B ，得 A ∩ B ＝ A ；反過來，由 A ∩ B ＝ A ，且 ( A ∩ B ) ?B ，得 A ? B . 因此， A ? B 是 A ∩ B ＝ A 成立的充要條件． 【答案】 ( 1) A ( 2) C 充分條件、必要條件、充要條件的應(yīng)用 若 “ x 2 ＞ 1 ” 是 “ x ＜ a ” 的必要不充分條件，則 a 的最大值是多少？ 【思路探究】 ( 1) 本例中誰是條件，誰是結(jié)論？ ( 2) “ x 2 ＞1 ” 是 “ x ＜ a ” 的必要不充分條件的含義是什么？
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