高二數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想-wenkub
2022-11-23 16:43:39 本頁面
【正文】 ， 作函數(shù)21yx??的圖象，它是雙曲線22 1yx ??的上支， 作函數(shù)1y a x??的圖象，它是過? ?0 , 1的直線系， 不等式的意義是雙曲線在直線的下方時(shí)，橫坐標(biāo)x的取值 . 從圖象可以看出 , 當(dāng)1a ?時(shí) , 函數(shù)21yx??的圖象的右半部分在直線1y a x??的下方 , 因此 , 不等式的解是0x ?, 當(dāng)01 a??時(shí) , 直線1y a x??與21yx??的圖象交于,AB兩點(diǎn) . 解 方 程2 11x a x? ? ?得220,1ABaxxa???, 于 是 解 為2201axa???. 由以上 , 不等式的解集為 : 當(dāng)1a ?時(shí) ,? ?0,x ? ? ?, 當(dāng)01 a??時(shí) ,220,1axa???????? 圖 3 23【 例 4 】 ( 2020 全國(guó)卷 ) 設(shè)函數(shù)????? ???2112)(xxfx 00??xx，若1)( 0 ?xf，則0x的取值范圍是 ( ) . A . （ 1? ， 1 ） B . （ 1? ， ?? ） C . （ ?? ， 2? ）?（ 0 ， ?? ） D . （ ?? ， 1? ）?（ 1 ， ?? ） 【分析及解】 本題可以直接求解，但需要解兩個(gè)不等式組，如果畫出函數(shù) 122 1 , 0 ,(), 0 .xxfxxx?? ???? ?? ?? 的圖象，再畫出直線1y ?的圖象（如圖 3 24 ）， 從圖象可以看出，兩圖象的交點(diǎn)是? ? ? ?1 , 1 , 1 , 1?， 由此而得，0x的取值范圍是0 1,x ??或0 1x ?，因而選（ D ） . 圖 3 24 6 . 運(yùn)用圖形分析法解題需要注意的問題 在 運(yùn)用圖形分析幫助解題的過程中也容易出 現(xiàn)一些誤區(qū) , 例如 , 圖形畫得不夠完整 , 不夠準(zhǔn)確 , 觀察圖形不夠仔細(xì) , 圖形的選擇不夠合理等 , 都會(huì)出現(xiàn)解題錯(cuò)誤 , 所以 , 在解題時(shí) , 有時(shí)還要與運(yùn)算相結(jié)合 . ( 1) 圖形畫得不夠完整 , 導(dǎo)致解題失誤 . 【例 1 】 求方程2 2 xx ?的解的個(gè)數(shù) . 【 分析及解 】 有的同學(xué) 在是這樣作的 : 畫出2yx?和2 xy ?的圖象 , 觀察圖象 ( 圖 3 25 ) 的交點(diǎn) , 得到解的個(gè)數(shù)為 2 . 這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的 , 原因在于圖象畫得不夠完整 , 忽略了函數(shù)2 xy ?的圖象比2yx?圖象的增長(zhǎng)速度要快 . 圖 3 25事實(shí)上 , 這兩個(gè)函數(shù)的圖象在 0x ? 時(shí) , 有一個(gè)交點(diǎn) ,而在 0x ? 時(shí) , 有兩個(gè)交點(diǎn)? ? ? ?2 , 4 , 4 ,1 6BC( 圖 3 26 ), 因此 , 方程 2 2 xx ? 有三個(gè)解 . 圖 3 26( 2) 圖形畫得不夠準(zhǔn)確 【例 2 】 求方程1161l o g16xx???????的解的個(gè)數(shù) . 【 分析及解 】 有的同學(xué)畫出116xy??? ????和116l o gyx?的草圖 ( 圖 3 27 ), 就斷言 ,方 程只有一個(gè)解 , . 實(shí)際上 , 室內(nèi)圖象畫得不準(zhǔn)確所致 , 準(zhǔn)確地畫出圖象 ( 圖 3 28 ), 可知有三個(gè)解 . 圖 3 27 圖 3 28(3 ) 觀察圖形不夠仔細(xì) 【例 3 】 求方程13 2 s inxx? 的解 的 個(gè)數(shù) . 【 分析及解 】 由于2 s i n 2x ?, 而 132x ?, 則88 x? ? ?, 因此 , 只需畫出? ?3 , 3???的圖象即可 . 有的同學(xué)觀 察圖象 ( 圖 3 29) , 得出有 7 個(gè)交點(diǎn) , 實(shí)際上 , 觀察得不夠仔細(xì) , 因?yàn)楫?dāng)8x ?時(shí) ,13 2x ? , 而當(dāng)582x ???時(shí) ,2 s i n 2x ?, 所以 , 點(diǎn)? ?,2x不是兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn) , 故在? ?2 , 3??上 , 兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn) , 而不是一個(gè)交點(diǎn) , 因此 , 方程13 2 s inxx? 的解的個(gè)數(shù)為 9 而不是 7. 圖 3 29【例 4 】 若橢圓 22221xyab??與拋物線2y x m??有四個(gè)公共點(diǎn) , 試探討,a b m應(yīng)滿足的關(guān)系 . 【 分析及解 】 作出橢圓 22221xyab??和拋物線2y x m??，觀察圖象（圖 3 30 ），可以得到，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在橢圓的下方， （mb??） ， 且拋物線穿過橢圓的內(nèi)部（ma??）時(shí)，即 2a m b? ? ? ?時(shí) ,兩條曲線有四個(gè)交點(diǎn) . 作為充分條件 , 這個(gè)結(jié)論是正確的 , 圖 3 30但是 , 對(duì)這個(gè)圖形觀察和分析的還不夠仔細(xì) , 我們考慮了ma??的情形 , 當(dāng)ma??時(shí) , 在x軸的下方 , 拋物線與橢圓仍有交 點(diǎn) , 例如 , 2221,44.xyyx?????????的解為 341212341 5 1 5,2 , 2 ,220 . 0 . 11..44xxxxyyyy??? ? ???? ? ?????? ? ? ????? ??? ? ? ?????( 圖 3 31 ). 所以 , 有四個(gè)交點(diǎn)的一個(gè)極端情形應(yīng)該是兩條曲線相切 , 由222221,.xyaby x m?????????得? ?2 2 2 2 2 0a y b y m a b? ? ? ?, 解0??得 42244abma???, 于是 , 兩條曲線有四個(gè)交點(diǎn)的條件是 42244abmba?? ? ? ? 圖 3 31( 4 ) 圖形的選擇不夠合理 【例 5 】 若圓? ?2 24x a y? ? ?與拋物線2 6yx?沒有公共點(diǎn) , 求a的 取值范圍 . 【 分析及解 】 由于圓的半徑為 2 , 當(dāng)圓與拋物線外切時(shí) ,2a ??, 于是 , 2a ??時(shí) , 圓與拋物線沒有公共點(diǎn) . 當(dāng)圓與拋物線內(nèi)切時(shí) , 由 ? ?2 224,6.x a yyx? ? ? ??????得 ? ?22 2 6 4 0x a x a? ? ? ? ?, ① ? ? ? ?2 22 6 4 4 0aa? ? ? ? ? ?, 解得136a ?
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