【正文】 案 85 三、解答題 {an}中， a1=53， an=211?na (n≥ 2,n∈ N*),數(shù)列 {bn}滿足 bn=11?na(n∈ N*). (1)求證：數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列； （ 2）求數(shù)列 {an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由 . （ 1） 證明 因?yàn)?an=211?na(n≥ 2,n∈ N*),bn=11?na. 所以當(dāng) n≥ 2時(shí)， bnbn1=11?na111??na =11211 ????????? ??na111??na=111???nnaa111??na=1. 又 b1=111?a=25.所以，數(shù)列 {bn}是以 25為首項(xiàng)，以 1為公差的等差數(shù)列 . （ 2） 解 由（ 1）知， bn=n27,則 an=1+nb1=1+722?n. 設(shè)函數(shù) f(x)=1+722?x,易知 f(x)在區(qū)間 (∞ ,27)和 (27,+∞ )內(nèi)為減函數(shù) . 所以，當(dāng) n=3時(shí)， an取得最小值 1； 當(dāng) n=4時(shí)， an取得最大值 3. {an}的奇數(shù)項(xiàng)的和為 216，偶數(shù)項(xiàng)的和為 192，首項(xiàng)為 1，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，求此數(shù)列的末項(xiàng)和通項(xiàng)公式 . 解 設(shè)等差數(shù)列 {an}的項(xiàng)數(shù)為 2m+1,公差為 d, 則數(shù)列的中間項(xiàng)為 am+1,奇數(shù)項(xiàng)有 m+1 項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有 m項(xiàng) . 依題意，有 S 奇 =(m+1)am+1=216 ① S 偶 =mam+1=192 ② ①247。 成都市第一次調(diào)研 ）設(shè) {an}為等差數(shù)列 ,Sn為數(shù)列 {an}的 前 n項(xiàng)和 ,已知 S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列??????nSn的前 n項(xiàng)和 ,求 Tn. 解 設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d, 則 Sn=na1+21n(n1)d, ∵ S7=7,S15=75, ∴??? ?? ?? 7510515 7217 11 da da, 即??? ?? ?? 57 1311 da da,解得??? ???121da, ∴nSn=a1+21(n1)d=2+21(n1), ∵11??nSnnSn=21, ∴數(shù)列??????nSn是等差數(shù)列 ,其首項(xiàng)為 2,公差為21, ∴ Tn=41n249n. {an}中， a1＜ 0,S9=S12,該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最??？ 解 由條件 S9=S12可得 9a1+289?d=12a1+21112?d，即 d=101a1. 由 a1＜ 0知 d＞ 0,即數(shù)列 {an}為遞增數(shù)列 . 方法一 由??? ??? ????? 0 0111 1 ndaa d)n(aann， 得????????????01011011011nn ）（ ,解得 10≤ n≤ 11. ∴當(dāng) n為 10或 11時(shí)， Sn取最小值， ∴該數(shù)列前 10項(xiàng)或前 11 項(xiàng)的和最小 . 方法二 ∵ S9=S12，∴ a10+a11+a12=3a11=0，∴ a11=0. 又∵ a1＜ 0,∴公差 d＞ 0，從而前 10項(xiàng)或前 11項(xiàng)和最小 . 方法三 ∵ S9=S12， ∴ Sn的圖象所在拋物線的對(duì)稱軸為 x=2129?=, 又 n∈ N*， a1＜ 0,∴ {an}的前 10項(xiàng)或前 11 項(xiàng)和最小 . 方法四 由 Sn=na1+2 )1( ?nnd=2d 2n+ ?????? ?21 dan， 結(jié)合 d=101a1得 Sn= ??????? 1201a a2 0080,則使 Sn0成立的最大自然數(shù) n是 （ 013 014 015 016 答案 B 3.（ 2020 221 ???????? n= 121 ???????? n， ∴ an=???????????????? )2(21)1(11 nnn . {an}中， a1=21， an=111?na(n≥ 2,n∈ N*)，數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn. （ 1）求證 ： an+3=an。 咸陽(yáng)模擬 ）已知數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn=n29n，第 k項(xiàng)滿足 5＜ ak＜ 8，則 k等于 （ ） 答案 B {an}的通項(xiàng)公式 an=2)1( 1?n，記 f（ n） =2(1a1)(1a2)? (1an)，試通過(guò)計(jì)算 f(1),f(2),f(3)的值，推測(cè)出 f(n)為（ ） A.nn1? B.13??nn C.12??nn D.23??nn 答案 C 二、填空題 7.（ 2020 a2 2=2n， ∴ Sn=n21. 8 分 ∴當(dāng) n≥ 2時(shí)， an=2SnSn1=2 a3等于 （ ） B. 28 答案 C 5.（ 2020第三章 數(shù) 列 167。 北京理， 6） 已知數(shù)列 {an}對(duì)任意的 p,q∈ N*滿足 ap+q=ap+aq且 a2=6,那么 a10等于 （ ） 答案 C 例 1 寫(xiě)出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： （ 1） 3， 5， 7， 9，?； （ 2）21，43，87，1615，3231，?； （ 3） 1，23， 31，43， 51，63，?； （ 4）32， 1，710， 917，1126， 1337，?； （ 5） 3， 33， 333， 3 333，? . 解 （ 1）各項(xiàng)減去 1后為正偶數(shù)，所以 an=2n+1. （ 2）每一項(xiàng)的分子比分母少 1，而分母組成數(shù)列 21， 22， 23， 24，?，所以 an=nn212?. （ 3）奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子（ 1） n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列 1， 2， 3， 4，?；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng) 為 1，偶數(shù)項(xiàng)為 3，即奇數(shù)項(xiàng)為 21，偶數(shù)項(xiàng)為 2+1， 所以 an=（ 1） nn21 a3沈陽(yáng)模擬） 數(shù)列 {an}滿足 an+1=????????????,121,12,210,2nnnnaaaa a1=53，則數(shù)列的第 2 008項(xiàng)為 . 答案 54 8.（ 2020(2）求 a2 008. （ 1） 證明 an+3=121?na=1111 1?? na=1=nnaa 11111??? =1111?? nnaa=1111???n nna aa=1na11111?? 111??na=1(1an)=an.∴ an+3=an. （ 2） 解 由（ 1）知數(shù)列 {an}的周期 T=3， a1=21， a2=1， a3=∵ a2 008=a3 669+1=a1=21.∴ a2 008=21. f(x)=x2ax+a (x∈ R)同時(shí)滿足：①不等式 f(x)≤ 0的解集有且只有一個(gè)元素；②在定義域內(nèi)存在 0﹤ x1﹤ x2,使得不等式 f(x1)＞ f(x2)成立 .設(shè)數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn=f（ n） . （ 1）求函數(shù) f(x)的表達(dá)式； （ 2）求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 . 解 （ 1）∵ f(x)≤ 0的解集有且只有一個(gè)元素， ∴Δ =a24a=0? a=0 或 a=4， 當(dāng) a=4時(shí)，函數(shù) f(x)=x24x+4在（ 0， 2）上遞減， 故存在 0＜ x1＜ x2,使得不等式 f(x1)＞ f(x2)成立， 當(dāng) a=0時(shí)， 函數(shù) f(x)=x2在（ 0,+∞）上遞增， 故不存在 0﹤ x1﹤ x2,使得不等式 f(x1)﹥ f(x2)成立， 綜上，得 a=4,f(x)=x24x+4. （ 2）由（ 1）可知 Sn=n24n+4,當(dāng) n=1時(shí)， a1=S1=1, 當(dāng) n≥ 2時(shí)， an=SnSn1=(n24n+4)［ (n1)24(n1)+4］ =2n5, ∴ an=??? ?? ? )2(52 )1(1 nn n. 167。全國(guó)Ⅰ理， 5）已知等差數(shù)列 {an}滿足 a2+a4=4， a3+a5=10，則它的前 10項(xiàng)的和 S10等于 （ 答案 C {an}和 {bn}的前 n 項(xiàng)和分別為 An和 Bn，且3457 ??? nnBAnn,則使得nnba為整數(shù)的正整數(shù) n 的個(gè)數(shù)是（ 答案 D a,b,m,n和 x,n,y,m均成等差數(shù)列，則 2b+y2a+x的值為 （ D. 不確 答案 C 例 1 已知數(shù)列 {an}滿足 a1=4,an=414?na(n≥ 2),令 bn=21?na.求證：數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列 . 證明 ∵ an+12=2na4=nnaa )2(2 ? ∴211??na=)2(2 ?nnaa=)2(2 22???nnaa=21+21?na ∴211??na21?na=21， ∴ bn+1bn=21. ∴數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列 . 例 2 在等差數(shù)列 {an}中， （ 1）已知 a15=33,a45=153,求 a61。 n2+ ?????? 12021a② ,得mm1?=192216，解得 ,m=8, ∴數(shù)列共有 2m+1=17項(xiàng)，把 m=8代入②，得 a9=24, 又∵ a1+a17=2a9， ∴ a17=2a9a1=47，且 d=917 917??aa=823. an=1+(n1)823=81523?n(n∈ N*,n≤ 17). Sn是等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和，已知31S3，41S4的等比中項(xiàng)為51S5。 等比數(shù)列及其前 n 項(xiàng)和 基礎(chǔ)自測(cè) 1.（ 2020 (21 )n1=(21 )n. 12 分 方法二 由（ 1） bn=(21 ) 3t,t=1,2,3,? . 又tna=2tn4,∴ 2tn4=a5 an的剩余面積 92%福建理， 3） 設(shè) {an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若 a1=1， a5=16，則數(shù)列 {an}的前 7項(xiàng)的和為 （ ） 答案 C {an}的前 n項(xiàng)和 Sn=3na，數(shù)列 {an}為等比數(shù)列，則實(shí)數(shù) a的值是 （ ） 答案 B a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列，其公比為 2，則43 2122 aa aa ??的值為 （ ） A.41 B.21 C.81 答案 A {an}前 n 項(xiàng)的積為 Tn,若 a3a6a18是一個(gè)確定的常數(shù)，那么數(shù)列 T10， T13， T17， T25中也是常數(shù)的項(xiàng)是 （ ） C. T17 D. T25 答案 C {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn=x安慶模擬） 設(shè)等比數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn， S4=1， S8=17，則通項(xiàng) an= . 答案 151 3n1=2 3n1. ∴nnbb1?=13