含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問題-wenkub
2023-04-08 23:42:27 本頁面
【正文】 ． 經(jīng)檢驗，只有m=2時方程才有兩個不同的正整數(shù)根． 說明 一般來說，可以先把方程的根求出來(如果比較容易求的話)，然后利用整數(shù)的性質(zhì)以及整除性理論，就比較容易求解問題，解法1就是這樣做的．有時候也可以利用韋達(dá)定理，得到兩個整數(shù)，再利用整除性質(zhì)求解，解法2就是如此，這些都是最自然的做法． 例2 已知關(guān)于x的方程a2x2(3a28a)x＋2a213a＋15=0 (其中a是非負(fù)整數(shù))至少有一個整數(shù)根，求a的值． 分析 “至少有一個整數(shù)根”應(yīng)分兩種情況：一是兩個都是整數(shù)根，另一種是一個是整數(shù)根，一個不是整數(shù)根．我們也可以像上題一樣，把它的兩個根解出來． 解 因為a≠0，所以 所以 所以只要a是3或5的約數(shù)即可，即a=1，3，5． 例3 設(shè)m是不為零的整數(shù)，關(guān)于x的二次方程mx2(m1)x＋1＝0 有有理根，求m的值． 解 一個整系數(shù)的一元二次方程有有理根，那么它的判別式一定是完全平方數(shù)．令Δ=(m1)24m＝n2， 其中n是非負(fù)整數(shù)，于是m26m+1=n2， 所以 (m3)2n2=8，(m3＋n)(m3n)＝8． 由于m3＋n≥m3n，并且(m3＋n)+(m3n)=2(m3) 是偶數(shù)，所以m3＋n與m3n同奇偶，所以 說明 一個整系數(shù)的一元二次方程如果有整數(shù)根或有理根，那么它的判別式一定是完全平方數(shù)，然后利用平方數(shù)的性質(zhì)、解不定方程等手段可以將問題解決． 例4 關(guān)于x的方程ax2+2(a3)x+(a2)=0 至少有一個整數(shù)解，且a是整數(shù)，求a的值．
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