含參不等式恒成立問(wèn)題-wenkub
2023-04-08 23:42:04 本頁(yè)面
【正文】 常見(jiàn)不等式恒成立問(wèn)題的幾種求解策略不等式恒成立問(wèn)題是近幾年高考以及各種考試中經(jīng)常出現(xiàn)，它綜合考查函數(shù)、方程和不等式的主要內(nèi)容，并且與函數(shù)的最值、方程的解和參數(shù)的取值范圍緊密相連，本文結(jié)合解題教學(xué)實(shí)踐舉例說(shuō)明幾種常見(jiàn)不等式恒成立問(wèn)題的求解策略，以?huà)伌u引玉。練習(xí)1：已知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例題2：已知不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的解題策略（專(zhuān)題探究）一、教學(xué)目標(biāo)：理解含參不等式恒成立問(wèn)題特征；能充分利用化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)和分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想解決含參不等式恒成立問(wèn)題；培養(yǎng)學(xué)生分析解決綜合問(wèn)題的能力。例當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（1） 當(dāng)即：時(shí)， 又所以不存在；（2） 當(dāng)即：時(shí)， 又 （3） 當(dāng) 即：時(shí)， 又綜上所得：三、 確定主元在給出的含有兩個(gè)變量的不等式中，學(xué)生習(xí)慣把變量看成是主元（未知數(shù)），而把另一個(gè)變量看成參數(shù)，在有些問(wèn)題中這樣的解題過(guò)程繁瑣。解：令， 所以原不等式可化為：，要使上式在上恒成立，只須求出在上的最小值即可。一、 分離參數(shù)在給出的不等式中，如果能通過(guò)恒等變形分離出參數(shù)，即：若恒成立，只須求出，則；若恒成立，只須求出，則，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。要使恒成立，則圓心到直線(xiàn)的距離滿(mǎn)足 解得（舍去)由上可見(jiàn)，含參不等式恒成立問(wèn)題因其覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價(jià)轉(zhuǎn)化，抓住了這點(diǎn)，才能以“不變應(yīng)萬(wàn)變”，當(dāng)然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會(huì)和總結(jié)。注：一般地，一次函數(shù)在上恒有的充要條件為。解：令，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問(wèn)題順利得到解決。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為，所以。三、分離變量法若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。二、最值法 將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題的一種處理方法，其一般類(lèi)型有：1）恒成立2）恒成立例3．已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問(wèn)題。一般地，對(duì)于二次函數(shù),有1）對(duì)恒成立。含參不等式恒成立問(wèn)題的求解策略“含參不等式恒成立問(wèn)題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，其以覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解法靈活等特點(diǎn)而倍受高考、競(jìng)賽命題者的青睞。練習(xí)題：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立的充要條件是_______。 其實(shí)在習(xí)題中，我們也給出了一種解恒成立問(wèn)題的方法，即求出不等式的解集后再進(jìn)行處理。 由此可以看出，對(duì)于參數(shù)不能單獨(dú)放在一側(cè)的，可以利用函數(shù)圖象來(lái)解。四：數(shù)形結(jié)合法 對(duì)一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。如果把上題稍微改一點(diǎn)，那么答案又如何呢？請(qǐng)看下題：（2）求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。由此看出，本類(lèi)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一類(lèi)求函數(shù)的最值問(wèn)題。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m1是否是0。類(lèi)型4： 恒成立問(wèn)題的解題的基
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