【正文】 ? ? ? ? ⒎求 xxx sin11lim 20???． 解： 2 2 2 2220 0 01 1 ( 1 1 ) ( 1 1 )l im l im l imsin( 1 1 ) sin ( 1 1 ) sinx x xx x x xxx x x x? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?0 2 0l im 0sin 1 1 1( 1 1 )x x xx x?? ? ????? ⒏求 xx xx )31(lim ????． 解：1143331 1 11 ( 1 ) [ ( 1 ) ]1l im ( ) l im ( ) l im l im333 11 ( 1 ) [ ( 1 ) ]3xxxxxx x x xxxex x x exx x????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ???? ? ⒐求 45 86lim224 ????? xxxxx． 3 解： ? ? ? ?? ? ? ?224 4 4426 8 2 4 2 2l im l im l im5 4 4 1 1 4 1 3x x xxxx x xx x x x x? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ⒑設(shè)函數(shù) ??????????????1,111,1,)2()(2xxxxxxxf 討論 )(xf 的連續(xù)性 。 ⒌設(shè) xxy 2? ，則 ??y )ln1(2 2 xx x ? ⒍設(shè) xxy ln? ，則 xy 1?? 。 的距離為 L ，問當?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大？ 解： 設(shè)園柱體半徑為 R，高為 h，則體積 hhLhRV )( 222 ??? ?? LhhLhLhLhhV： 3 330]3[])2([ 2222 ??????????? ??令。 （四）證明題 ⒈ 當 0?x 時，證明不等式 )1ln( xx ?? ． 證： 在區(qū)間 ? ? ? ? 應(yīng)用拉格朗日定理，有上對函數(shù) xxfx ln1,1 ?? ? ? xx ?11ln1ln ??? 其中 11,11 ?????? 故x，于是由上式可得 )1ln( xx ?? ⒉當 0?x 時，證明不等式 1e ??xx ． 證： )1()( ??? xexf x設(shè) 0)0()(,00(01)( ???????? fxfx）xexf x 單調(diào)上升且時當時當 )1(,0)( ???? xexf x即 高等數(shù)學基礎(chǔ)形考作業(yè) 4答案： 第 5 章 不定積分 第 6 章 定積分及其應(yīng)用 （一）單項選擇題 ⒈若 )(xf 的一個原函數(shù)是 x1 ，則 ?? )(xf （ D）． A. xln B. 21x? C. x1 D. 32x ⒉下列等式成立的是（ D）． A )(d)( xfxxf ??? B. )()(d xfxf ?? C. )(d)(d xfxxf ?? D. )(d)(dd xfxxfx ?? ⒊若 xxf cos)( ? ，則 ??? xxf d)( （ B）． A. cx?sin B. cx?cos C. cx??sin D. cx??cos ⒋ ?? xxfxx d)(dd 32 （ B）． A. )( 3xf B. )( 32 xfx C. )(31 xf D. )(31 3xf ⒌若 ? ?? cxFxxf )(d)( ，則 ? ?xxfx d)(1（ B）． A. cxF ?)( B. cxF ?)(2 C. cxF ?)2( D. cxFx ?)(1 ⒍ 下列無窮限積分收斂的是（ D） ． A. dxx???11 B. dxex???0 10 C. dxx???1 1 D. dxx???1 21 （二）填空題 ⒈函數(shù) )(xf 的不定積分是 dxxf? )( 。 ⒌若 ? ?? cxxxf 3c osd)( ，則 ?? )(xf )3cos(9 x? 。 ⒉了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。 掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖 形特點。分解后的函數(shù)前三個都是基本初等函數(shù)，而第四個函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的和。 ⒉函數(shù) xxxf ???? 5)2ln (1)(的定義域是 。 解：要使 )(lnxf 有意義，必須使 1ln0 ?? x ，由此得 )(lnxf 定義域為 ]e,1[ 。 解： )(xf 的定義域為 ),( ???? ，且有 )(222)( )( xfaaaaaaxf xxxxxx ???????? ????? 即 )(xf 是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于 y 軸對稱。 ＝ x； B. x 軸； 軸； 解：設(shè) )()()( xfxfxF ??? ，則對任意 x 有 )())()(()()())(()()( xFxfxfxfxfxfxfxF ??????????????? 即 )(xF 是奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點對稱。 ⒋函數(shù) )1,0(11)( ????? aaaaxxf xx（ ） ； B. 是偶函數(shù)； ； 。 解：因為 2)1(2121 22222 ???????? xxxxxx 所以 2)1()1( 2 ???? xxxxf 13 則 2)( 2 ?? xxf ，故選項 B 正確。 ⒊熟練掌握極限的計算方法：包括極限的四則運算法則，消去極限式中的不定因子，利用無窮小量的運算性質(zhì)，有理化根式，兩個重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方法。 典型例題解析 一、填空題 ⒈極限 limsinsinxx xx? ?02 1 。 因為 1)0(1)1(lim01s inlim 00 ???? ?? ?? fxxx xx 所以函數(shù) )(xf 在 0?x 處是間斷的， 又 )(xf 在 )0,(?? 和 ),0( ?? 都是連續(xù)的，故函數(shù) )(xf 的間斷點是 0?x 。 ⒉下列函數(shù)在指定 的變化過程中，（ ）是無窮小量。 )11(3s in11lim)11(3s in )11)(11(lim3s in 11lim000 ??????? ?????????? xxxxx xxxxxxx = 61213111 1lim3s in3lim31)11(3s inlim000 ?????????????? xxxxx xxxx ????????????0s in001s in)(xx xxaxbxxxf 問（ 1） ba, 為何值時， )(xf 在 0?x 處有極限存在？ （ 2） ba, 為何值時， )(xf 在 0?x 處連續(xù)？ 解：（ 1）要 )(xf 在 0?x 處有極限存在，即要 )(lim)(lim 00 xfxf xx ?? ?? ? 成立。在學習的時候要側(cè)重以下幾點： ⒈理解導數(shù)的概念；了解導數(shù)的幾何意義；會求曲線的切線和法線；會用定義計算簡單函數(shù)的導數(shù)；知道可導與連續(xù)的關(guān)系。反之則不然，函數(shù) )(xfy? 在 0x 點連續(xù)，在 0x 點不一定可導。如果我們把函數(shù)先進行變形，即 21212322 212)1( ????????? xxxx xxxxy 再用導數(shù)的加法法則計算其導數(shù)，于是有 2321212123 ?? ???? xxxy 這樣計算不但簡單而且不易出錯。 ⒍了解高階導數(shù)的概念；會求顯函數(shù)的二階導數(shù)。 第三章 導數(shù)與微分典型例題選解 一、填空題 ⒈設(shè)函數(shù) )(xf 在 0?x 鄰近有定義，且 1)0(,0)0( ??? ff ，則?? xxfx )(lim0 。 ⒊設(shè) f x x x( ) ? ? ?2 4 5，則 f f x[ ( )]? ? 。 A. x1 ； B. x1? ； C. 21x ； D. 21x? 解：先要求出 )(xf ，再求 )(xf? 。 A. (, )01 ； B. (, )10 ； C. ( , )0 1? ； D. ( , )?10 解： xy e1??? ，令 0??y 得 0?x 。 三、計算應(yīng)用題 ⒈設(shè) xxy sin22tan ?? ，求 2d ??xy 解：⑴由導數(shù)四則運算法則和復合函數(shù)求導法則 2ln2c os2c os 2 s i n2 xxxy ???? 由此得 xxy x d2d)2ln22c o sc o s2(d 2s i n22 ????? ?? ?? ⒉設(shè) )(e)e( xfxfy ? ，其中 )(xf 為可微函數(shù)，求 y? 。 解：由參數(shù)求導法 ttxyxytt 122 1dd ??????? 5．設(shè) xxy arctan)1( 2?? ，求 y? 。 2. 若函數(shù) )(xfy? 滿足條件（ ），則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一點 )( ba ???? ，使得 ab afbff ???? )()()(? 成立。 3. 滿足方程 0)( ?? xf 的點是函數(shù) )(xfy? 的（ ）。 A）取得極大值 B）取得極小值 C）一定有拐點 ))(,( 00 xfx D）可能有極值，也可能有拐點 解：選擇 D 函數(shù)的一階導數(shù)為零，說明 0x 可能是函數(shù)的極值點；函數(shù)的二階導數(shù)為零，說明 0x 可能是函數(shù)的拐點，所以選擇 D。 由此得出，函數(shù) )1ln( xxy ??? 在 )0,1(? 內(nèi)單調(diào)遞減，在 ),0( ?? 內(nèi)單調(diào)增加。 3．證明題：當 1?x 時，證明不等式 ee xx ? 證 設(shè)函數(shù) xxf ln)( ? ，因為 )(xf 在 ),0( ?? 上連續(xù)可導，所以 )(xf 在 ],1[x 上滿足拉格朗日中值定理條件，有公式可得 )1)(()1()( ???? xcffxf 其中 xc??1 ，即 )1(11lnln ??? xcx 21 又由于 1?c ，有 11?c 故有 1ln ??xx 兩邊同時取以 e 為底的指數(shù)，有 1ln ee ?? xx 即 eexx? 所以當 1?x 時，有不等式 ee xx ? 成立 . 第 5 章學習輔導（ 2） 典型例題解析 一、填空題 ⒈曲線在任意一點處的切線斜率為 2x ，且曲線過點 (, )25 ，則曲線方程為 。 解：用湊微分法 )d()(1)d()(1d)( ??? ?????? baxbaxfaaxbaxfaxbaxf cbaxFabaxFa ????? ? )(1)(d1 二、單項選擇題 ⒈設(shè) cxxxxf ??? lnd)( ，則 ?)(xf （ ）。 A. 0)(22 ?? dxxf B. C. dxxdxx ?? ? 1010 2 D. (2). 下列式子中，正確的是（ ） ?? ? baab dxxfdxxf )()( 23 A. xtdtx coscos0 ????????? B. C. 0cos0 ?????????x tdt D. xtdtx coscos0 ????????? (3) 下列廣義積分收斂的是