【正文】 (或基本事件 )發(fā)生 （ 或出現(xiàn) ） 。概率論復習及 R相關(guān) 引言 在我們所生活的世界上， 充滿了不確定性 扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單游戲 將不確定性 數(shù)量化 ， 20世紀初葉才開始的 . 世間萬物的繁衍生息；大自然的千變?nèi)f化 …… ， 面臨著不確定性和隨機性 . 已經(jīng)給人類活動的一切領(lǐng)域帶來了一場革命 . 隨機現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律可言 ? 多次重復拋一枚硬幣，正面朝上的次數(shù)大致一半； 測量一物體的長度，由于儀器及觀察受到的環(huán)境的影響，每次測量的結(jié)果可能是有差異的 . 但多次測量結(jié)果的平均值隨著測量次數(shù)的增加逐漸穩(wěn)定于一常數(shù) . 在一定條件下對隨機現(xiàn)象進行大量觀測會發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性 . 數(shù)理統(tǒng)計 研究怎樣有效地收集、整理和分析帶有隨機性質(zhì)的數(shù)據(jù)，以對所觀測的問題作出推斷和預測 概率論 研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性 概率論的起源 賭博 概率論的發(fā)展 測度 概率論與數(shù)理統(tǒng)計的應(yīng)用和滲透 本學科的應(yīng)用 幾乎遍及所有科學技術(shù)領(lǐng)域、 工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟的各個部門中 . 1. 氣象、水文、地震預報、人口控制及預 測 2. 產(chǎn)品的抽樣驗收，新研制的藥品能否 應(yīng)用 3. 尋求最佳生產(chǎn)方案 購物排隊、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率 模型來描述，其涉及到 的知識就是 排隊論 . 目前，概率統(tǒng)計理論 進入其他自然科學領(lǐng) 域的趨勢還在不斷發(fā)展 . 在社會科學領(lǐng)域 ，特 別是經(jīng)濟學中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟的穩(wěn)定增長 等問題，都大量采用 概率統(tǒng)計方法 . 正如法國 數(shù)學家 拉普拉斯所說 : “ 生活中最重要的問題， 其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題 .” 機器維修、病人候診、存貨控制、水庫調(diào)度、 第一章 隨機事件與概率 167。事件 A發(fā)生也稱為事件 A出現(xiàn) 事件的發(fā)生 2. 隨機事件 },3,2,1,0{ NS ??}),{( 21 TyxTyxS ????其中 T1,T2分別是該地區(qū)的最低與最高溫度 :3E 觀察某地區(qū)每天的最高溫度與最低溫度 :2E 觀察 總機每天 9:00~10:00接到的電話次數(shù) 有限樣本空間 無限樣本空間 :1E 投一枚硬幣 3次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù) }3,2,1,0{?S例 給出一組隨機試驗及相應(yīng)的樣本空間 一 . 古典概率 167。 設(shè) A代表“ 命中 ” 這一事件 ， 求 P(A)? 1 事件的頻率 在一組不變的條件下，重復作 n次試驗，記 m是 n次試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù)。 (2)提供了一種檢驗理論正確與否的準則 . ? ?)()(//APABPnmnkmkABP ??? 設(shè) A、 B為兩事件 , P ( A ) 0 , 則 )(/)( APABP稱 為事件 A 發(fā)生的條件下事 件 B 發(fā)生的條件概率，記為 定義 ? ?ABP)()(APABP? 設(shè)試驗的基本事件總數(shù)為 n， 事件 A所包含的基本事件總數(shù)為 m， 事件 AB所包含的基本事件總數(shù)為 k。,。 離散型隨機變量及其概率分布 定義 若隨機變量 X 的可能取值是有限多個或 無窮可列多個，則稱 X 為 離散型隨機變量 描述離散型隨機變量的概率特性常用它的 概率 分布 或 分布律 ，即 ?,2,1,)( ??? kpxXP kk概率分布的性質(zhì) 離散型隨機變量的概念 ? ?,2,1,0 ?? kp k 非負性 ? 11????kkp 規(guī)范性 F( x) 是分段階梯函數(shù)，在 X 的可能取值 xk 處發(fā)生間斷，間斷點為第一類跳躍間斷點， 在間斷點處有躍度 pk 離散型隨機變量的分布函數(shù) )()()( 1????? kkkk xFxFxXPp))(()()( ?xxkkxXPxXPxF????????????xxkxxkkkpxXP )((1) 0 – 1 分布 X = xk 1 0 Pk p 1 p 0 p 1 1,0,)1()( 1 ???? ? kppkXP kk注 其分布律可寫成 常見的離散型隨機變量的分布 凡是隨機試驗只有兩個可能的結(jié)果， 應(yīng)用場合 常用 0 – 1分布描述，如產(chǎn)品是否格、人口性別統(tǒng) 計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超負荷等等 . (2) 二項分布 ),( pnB背景： n 重 Bernoulli 試驗中，每次試驗感興趣 的事件 A 在 n 次試驗中發(fā)生的次數(shù) —— X 是 一離散型隨機變量 若 P ( A ) = p , 則 nkppCkXPkP knkknn ,1,0,)1()()( ?????? ?稱 X 服從 參數(shù)為 n, p 的二項分布，記作 ),(~ pnBX0 – 1 分布是 n = 1 的二項分布 二項分布的取值情況 設(shè) ),8(~31BX.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8,1,0,)1()()()( 8313188 ?????? ? kCkXPkP kkk? 由圖表可見 , 當 時， 32 或?k分布取得最大值 2 7 )3()2( 88 ?? PP此時的 稱為最可能成功次數(shù) kx P ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 R軟件中的統(tǒng)計計算 一、統(tǒng)計分布 每一種分布有四個函數(shù)： d―density （密度函數(shù)）， p― 分布函數(shù)， q― 分位數(shù)函數(shù)， r― 隨機數(shù)函數(shù)。prob39。 if TRUE, probabilities p are given as log(p). : logical。prob39。dbinom39。 gives the density, 39。 gives the quantile function and 39。 is not an integer, 39。 y=dbinom(x,8,1/3) y 例 5： 求服從二項分布的隨機變量 X分布率的值 結(jié)果： ans = ans = y = 設(shè) ),8(~31BX命令： p=dbinom(x,n,p) 解 (1) 設(shè) 需要配備 N 個維修工人 ,設(shè) X 為 90 臺 設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)，則 X ~ B( 90, ) 設(shè)有同類型設(shè)備 90臺，每臺工作相互獨立， 每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率都是 . 在通常 情況下，一臺設(shè)備發(fā)生故障可由一個人獨立 維修，每人同時也只能維修一臺設(shè)備 . (1) 問至少要配備多少維修工人，才能保證當設(shè) 備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于 ? (2) 問 3個人共同負責 90臺還是 3個人各自獨立負 責 30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修的概率低？ 例 6??????90190 )()()(NkkNkkCNXP令 ????則 ??????901!)(NkkkeNXP ?? ??????? ??911!!kkNkkkeke??????1!Nkk?查表 2可得 N = 4 ??????NkkNkkCNXP090 )()(1)(dbinom(0,90,) = dbinom(1,90,) = dbinom(2,90,) = dbinom(3,90,) = dbinom(4,90,) = )()( )()( )()(409030902090????????????kkNkkkkNkkkkNkkCCC(2)三個人共同負責 90臺設(shè)備發(fā)生故障不能 及時維修的概率為 ?????904!)3(kkkeXP???????? ??914!!kkkkkeke?????4!kkke0 13 45 ?設(shè) 30臺設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)為 Y ~ B ( 30,) 設(shè)每個人獨立負責 30臺設(shè)備，第 i 個人負責的 30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修為事件 Ai 則 ???????2!)2()(kki keYPAP03 ? 3,2,1?i三個人各獨立負責 30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時 維修為事件 321 AAA ??? ? ??????31321 )(1iiAPAAAP1 06 )0 36 (1 3 ???? 0 1 3 4 5 ?故 三個人共同負責 90 臺設(shè)備比各自負責好！ (3) Poisson 分布 )(?? 或 )(?P或 若 ?,2,1,0,!)( ???? kkekXPk??其中 0?? 是常數(shù)，則稱 X 服從 參數(shù)為 ?的 Poisson 分布，記作 )(?? )(?P在一定時間間隔內(nèi)： 一匹布上的疵點個數(shù)； 大賣場的顧客數(shù)； 應(yīng)用場合 電話總機接到的電話次數(shù)； 一個容器中的細菌數(shù)； 放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)； 一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)； 某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù) 都可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機質(zhì)點流 , 若它們滿足一定的條件，則稱為 Poisson流 , 在 長為 t 的時間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù) Xt ~ P ( ?t ) 市級醫(yī)院急診病人數(shù)； 等等 命令： p=dpois(k, ?) Usage: dpois(x, lambda, log = FALSE) ppois(q, lambda, = TRUE, = FA