力學(xué)量的平均值隨時(shí)間的變化(已修改)
2025-03-01 16:44 本頁(yè)面
【正文】 1. 力學(xué)量的平均值隨時(shí)間的變化若 則 A稱(chēng)為守恒量3. 守恒量的性質(zhì) 如果力學(xué)量 A不含時(shí)間，若 [A, H]=0(即為守恒量 )，則無(wú)論體系處于什么狀態(tài)， A的平均值和測(cè)值概率均不隨時(shí)間變化。第 4 章 力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對(duì)稱(chēng)性4. 經(jīng)典與量子力學(xué)中的守恒量間的關(guān)系5. 守恒量與定態(tài) (1) 定態(tài)是體系的一種特殊狀態(tài)，即能量本征態(tài)，而守恒量則 是一種特殊的力學(xué)量，與體系的 Hamilton量對(duì)易。 （ 2）在定態(tài)下 一切力學(xué)量 的平均值和測(cè)值概率都不隨時(shí)間改變； 而守恒量則在 一切狀態(tài) 下的平均值和測(cè)值概率都不隨時(shí)間改變(1) 與經(jīng)典力學(xué)中的守恒量不同，量子力學(xué)中的守恒量不一定取確定的數(shù)值 . 守恒量對(duì)應(yīng)的量子數(shù)稱(chēng)為 好量子數(shù)(2) 量子體系的各守恒量并不一定都可以同時(shí)取確定值。6. 能級(jí)簡(jiǎn)并與守恒量的關(guān)系定理 設(shè)體系有兩個(gè)彼此不對(duì)易的守恒量 F和 G，即 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0, 則體系能級(jí)一般是簡(jiǎn)并的 。推論： 如果體系有一守恒量 F，而體系的某條能級(jí)并不 簡(jiǎn)并，即對(duì)應(yīng)某個(gè)能量本征值 E只有一個(gè)本征態(tài) ΨE， 則 ΨE必為 F 的本征態(tài)。7. 位力定理： 設(shè)粒子處于勢(shì)場(chǎng) V(r)，其哈密頓為r?p的平均值隨時(shí)間的變化為對(duì)定態(tài)有則（定態(tài)下力學(xué)量的平均值不隨時(shí)間變化）思考題： r?p并不是厄米算符，應(yīng)進(jìn)行厄米化這是否會(huì)影響位力定理得證明。答： 從位力定理的證明可以看出，將 r?p厄米化后并不能影響到 定理的證明。例題 1 設(shè) V(x,y,z)是 x,y,z的 n次齊次函數(shù)，即證明8. FeynmanHellmann定理設(shè)體系的束縛態(tài)能級(jí)和歸一化的能量本征態(tài)為若 H中含有參數(shù) λ，則有9. 全同粒子體系與波函數(shù)的交換對(duì)稱(chēng)性(1) 兩個(gè)全同粒子組成的體系(2) N個(gè)全同 Femi子組成的體系三個(gè)全同 Femi子： 設(shè)三個(gè)無(wú)相互作用的全同 Femi子，處于三個(gè)不同的單粒子態(tài) φk1, φk2, φk3 上，則反對(duì)稱(chēng)波函數(shù)為Slater行列式 N個(gè)全同 Bose子組成的體系其中 P是指那些只對(duì)處于不同單粒子態(tài)上的粒子進(jìn)行對(duì)換而構(gòu)成的置換，這樣的置換數(shù)為167。 Schr246。dinger 圖像和 Heisenberg圖像1. Schr246。dinger 圖像力學(xué)量不隨時(shí)間變化，而波函數(shù)隨時(shí)間變化 。力學(xué)量的平均值波函數(shù)隨時(shí)間演化方程 Schr246。dinger 方程力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化波函數(shù)隨時(shí)間演化可寫(xiě)成稱(chēng)為 時(shí)間演化算符。(4) 代入 (2)得到則積分得可以證明：是 幺正算符。2. Heishenberg 圖像波函數(shù)不變，算符隨時(shí)間變化算符的演化方程 Heisenberg 方程利用 U的幺正性， 及 U+HU=H則上式稱(chēng)為 Heisenberg方程 。利用 U的幺正性， 及 U+HU=H則上式稱(chēng)為 Heisenberg方程 。例題 1 自由粒子p為守恒量，則 p(t)=p(0)=p則例題 2 一維諧振子而則其解為則根據(jù)初始條件則例題 3 求一維諧振子在態(tài) Ψn下的動(dòng)能和勢(shì)能的平均值解： 一維諧振子的能量本征值為由位力定理知 :則
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