透視仿射對(duì)應(yīng)-仿射對(duì)應(yīng)-仿射變換及其關(guān)系-圖形的仿射性質(zhì)和仿射變換的特例。(已修改)
2025-08-17 17:10 本頁(yè)面
【正文】 章主要討論透視仿射對(duì)應(yīng)，仿射對(duì)應(yīng)，仿射變換及其關(guān)系，圖形的仿射性質(zhì)和仿射變換的特例。關(guān)鍵詞：透視仿射對(duì)應(yīng)，仿射變換，仿射對(duì)應(yīng)，仿射坐標(biāo)，圖形的仿射性質(zhì)，單比，同素性，結(jié)合性，平行性。引言在歐氏平面上建立仿射坐標(biāo)系，研究仿射變換下圖形的仿射性質(zhì)（單比，同素性，結(jié)合性，平行性）及仿射變換的特例（正交變換，位似變換，相似變換，壓縮變換等）為以后學(xué)習(xí)射影變換和圖形的射影性質(zhì)打下基礎(chǔ)。1. 預(yù)備知識(shí)定義1：設(shè),是有向直線上的兩個(gè)定點(diǎn)， 是這有向直線的另一點(diǎn)，分有向線段為兩個(gè)有向線段和，則其量數(shù)的比叫做三點(diǎn)的單比；記為，即=，其中 ，叫做基點(diǎn)，叫做分點(diǎn)顯然 當(dāng)在,之間時(shí), 當(dāng)在,之外時(shí), 當(dāng)與重合時(shí), 當(dāng)與重合時(shí), 不存在 當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí), =1.如果已知一直線上三點(diǎn)的單比,另一直線上兩點(diǎn),則在第二直線上可以唯一地確定一點(diǎn)而使=?，F(xiàn)在我們將共線三點(diǎn)的單比用坐標(biāo)表示。 定理：設(shè)共線三點(diǎn)的仿射坐標(biāo)順次為則單比 =； 這就是單比的坐標(biāo)表示。 透視仿射對(duì)應(yīng). 透射仿射對(duì)應(yīng)的分類一般透射仿射對(duì)應(yīng)可以分為兩個(gè)：（1）二直線間的透視仿射對(duì)應(yīng)定義1：在一平面上設(shè)有直線和，為此平面上與，均不平行的另一直線，通過(guò)直線上各點(diǎn)分別作與平行的直線，順次交于這樣 （圖1）使得到直線上點(diǎn)到上點(diǎn)的一個(gè)一一對(duì)應(yīng),稱為透視仿射對(duì)應(yīng)。 如果直線與相交，則交點(diǎn)是透視仿射對(duì)應(yīng)的二重點(diǎn)或稱自對(duì)應(yīng)點(diǎn)， （如是自對(duì)應(yīng)點(diǎn)）；（2）二平面間的透視仿射對(duì)應(yīng) 定義2：設(shè)有兩個(gè)平面與，通過(guò)平面內(nèi)各點(diǎn)引平行線交于這樣使平面內(nèi)的點(diǎn)與平面內(nèi)的點(diǎn)建立一種一一對(duì)應(yīng) （圖2）關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)叫做到的透視仿射對(duì)應(yīng)。 如果平面和相交于直線，則上的每個(gè)點(diǎn)都是自對(duì)應(yīng)點(diǎn)，并且在平面和間的透視仿射對(duì)應(yīng)下的所有自對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在其交線上，直線叫做透視軸，簡(jiǎn)稱軸，如果平面和平行則無(wú)自對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也不存在透視軸了。顯然，透視仿射對(duì)應(yīng)由平行射影所得到的對(duì)應(yīng)。 透視仿射對(duì)應(yīng)的性質(zhì)透視仿射對(duì)應(yīng)具有如下的性質(zhì)：（1）透視仿射對(duì)應(yīng)保持同素性； 即透視仿射對(duì)應(yīng)使點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直線對(duì)應(yīng)直線，我們稱這個(gè)性質(zhì)為同素性。（2）透視仿射對(duì)應(yīng)保持結(jié)合性；如
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