【正文】 第 3章 時域分析法 第 3章 時域分析法 系統(tǒng)性能指標(biāo)及動態(tài)性能分析 一階系統(tǒng)的時域分析 二階系統(tǒng)的時域分析 高階系統(tǒng)的時域分析 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 習(xí)題 第 3章 時域分析法 系統(tǒng)性能指標(biāo)及動態(tài)性能分析 典型輸入信號和時域性能指標(biāo) 1. 常用的輸入信號 控制系統(tǒng)的動態(tài)性能是通過系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)過程來評價的 。 而系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù) ， 還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)及輸入信號有關(guān) 。 為了便于在統(tǒng)一的條件下進(jìn)行分析和設(shè)計 ， 一方面 ， 假定在輸入信號作用于系統(tǒng)的瞬時 (t=0)之前系統(tǒng)相對靜止 ， 即為零初始狀態(tài)； 第 3章 時域分析法 另一方面 ， 也需要假定一些典型的輸入信號作為系統(tǒng)的試驗信號 。 典型的輸入信號一般應(yīng)具備以下兩個條件： (1) 典型信號應(yīng)具有一定的代表性 ， 而且其數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單 ， 以便于數(shù)學(xué)分析 、 計算與處理 。 (2) 典型信號應(yīng)易于在實驗室獲得 。 因此 ， 在控制工程中常采用下述五種信號作為典型的輸入信號 。 第 3章 時域分析法 1) 階躍信號 階躍輸入信號表示輸入量的瞬間突變過程 ， 如圖31(a)所示 。 它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 000)(0 ??????ttRtr (31) 相應(yīng)的拉氏變換為 sRsR 0)( ? (32) 第 3章 時域分析法 其中 ， R0為常量 。 當(dāng) R0=1時 ， 稱為單位階躍函數(shù) ， 記為 1(t)。 在時域分析中 ， 階躍信號用得最為廣泛 。 實際中 ， 電源的突然接通 、 負(fù)載的突變等均可近似看作階躍信號 。 第 3章 時域分析法 圖 31 典型輸入信號 (一 ) (a) 階躍信號； (b) 斜坡信號； (c) 拋物線信號 r ( t)R0Ot( a )r ( t)v0t1 0r ( t)0 1 t021a( b ) ( c )第 3章 時域分析法 2) 斜坡信號 斜坡信號表示由零值開始隨時間 t線性增長的信號 ， 如圖 31(b)所示 。 它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 000)(0 ??????ttttr? (33) 其拉氏變換為 20)(ssR?? (34) 其中， v0為常量。 當(dāng) v0=1時， 稱為單位斜坡函數(shù)。 第 3章 時域分析法 3) 拋物線信號 拋物線信號亦稱等加速度信號 ， 它表示隨時間以等加速度增長的信號 ， 如圖 31(c)所示 。 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 00210)(20 ????????tttatr (35) 它的拉氏變換為 30)(sasR ? (36) 第 3章 時域分析法 4) 脈沖信號 脈沖信號可看作一個持續(xù)時間極短的信號 ， 如圖32(a)所示 。 它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 ??????????ttHtr,00)(??? t0(37) 當(dāng) H=1時 ， 記為 δε(t)。 若令脈寬 ε→ 0， 則稱其為單 位理想脈沖函數(shù) ， 見圖 32(b)， 并用 δ(t)表示 ， 即 第 3章 時域分析法 且其面積（又稱脈沖強度）為 000)(l i m)(0 ????????? tttt e??? (38) 1)( ?? ????dtt?相應(yīng)的拉氏變換為 1)]([ ?tL ?(39) 第 3章 時域分析法 圖 32 典型輸入信號 (二 ) (a) 脈沖信號； (b) 單位理想脈沖函數(shù) r ( t)?H?O t( a )r ( t)? ( t)Ot( b )第 3章 時域分析法 圖 33 正弦信號 r ( t)O? t第 3章 時域分析法 5) 正弦信號 正弦信號如圖 33所示 ， 它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 00s i n0)(??????tttAtr?(310) 正弦信號的拉氏變換為 1)]([ ?tL ? (311) 第 3章 時域分析法 控制系統(tǒng)的性能指標(biāo) 控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)常分為動態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo) 。 動態(tài)性能指標(biāo)又可分為跟隨性能指標(biāo)和抗擾性能指標(biāo) 。 在自動控制原理中所討論的系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo) ， 一般是指跟隨性能指標(biāo) 。 1. 跟隨性能指標(biāo) 在給定信號 r(t)的作用下 ， 系統(tǒng)輸出 c(t)的變化情況可用跟隨性能指標(biāo)來描述 。 設(shè)圖 34所示為控制系統(tǒng)典型的階躍響應(yīng)曲線 ， 據(jù)此定義常用的跟隨性能指標(biāo)如下 。 第 3章 時域分析法 圖 34 階躍響應(yīng)曲線與跟隨性能指標(biāo) c ( t)c ( tp)c ( tp) － c ( ∞ )trtptst允 許 偏 差 177。5 ％ ( 或 177。2 ％ )c ( ∞)c ( ∞)O第 3章 時域分析法 1) 上升時間 tr 上升時間 tr指系統(tǒng)輸出響應(yīng)從 0開始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間 。 tr小 ， 表明系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)快 。 2) 峰值時間 tp 峰值時間 tp指系統(tǒng)輸出響應(yīng)由 0開始， 越過第一次穩(wěn)態(tài)值到達(dá)峰值所需的時間。 3) 超調(diào)量 ζ% 超調(diào)量 ζ%指系統(tǒng)輸出響應(yīng)超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏離量占穩(wěn)態(tài)值的百分比。 %1 0 0)( )()(% ?? ??? c ctc p? (312) 第 3章 時域分析法 4) 調(diào)節(jié)時間 ts 調(diào)節(jié)時間 ts指系統(tǒng)的輸出響應(yīng)達(dá)到并保持在穩(wěn)態(tài)值的 177。 5%（ 或 177。 2%） 誤差范圍內(nèi) ， 即輸出響應(yīng)進(jìn)入并保持在 177。 5%（ 或 177。 2%） 誤差帶之內(nèi)所需的時間 。 ts小 ， 表示系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)過程短 ， 快速性好 。 5) 振蕩次數(shù) N 振蕩次數(shù) N指在調(diào)節(jié)時間內(nèi) ， 系統(tǒng)輸出量在穩(wěn)態(tài)值上下擺動的次數(shù) 。 次數(shù)少 ， 表明系統(tǒng)穩(wěn)定性好 。 第 3章 時域分析法 2. 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能一般是指其穩(wěn)態(tài)精度 ， 常用穩(wěn)態(tài)誤差 ess來表述 。 穩(wěn)態(tài)誤差 ess是指系統(tǒng)期望值與實際輸出的最終穩(wěn)態(tài)值之間的差值 。 ess小 ， 說明系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度高 。 第 3章 時域分析法 一階系統(tǒng)的時域分析 當(dāng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為一階微分方程式時， 稱其為一階系統(tǒng)。研究如圖 35所示的一階系統(tǒng)。 在物理上， 這個系統(tǒng)可以表示一個 RC電路， 也可以表示一個熱系統(tǒng)等。 系統(tǒng)的輸入 輸出關(guān)系為 11)()()(??? TssRsCs? (313) 第 3章 時域分析法 圖 35 一階系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖 Ts1E ( s )R ( s ) C ( s )－第 3章 時域分析法 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 設(shè)輸入 ssR1)( ?則輸出量的拉氏變換為 TsssTssssC /1111111)()(???????? ?(314) 單位階躍響應(yīng)為 tTetc 11)( ??? (315) 第 3章 時域分析法 圖 36 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 c ( t)10 . 9 50 . 6 3 20 T 2 T 3 T 4 T t第 3章 時域分析法 其單位階躍響應(yīng)曲線如圖 36所示 。 由方程 (315)可以看出 ， 輸出響應(yīng)的初始值等于 0， 而最終將變成 1。 當(dāng) t=T時 ， c(t)=， 這表明輸出響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的％ 所需的時間就是一階系統(tǒng)的時間常數(shù) 。 系統(tǒng)的時間常數(shù)越小 ， 響應(yīng)就越快 。 另外 ， 輸出響應(yīng)沒有振蕩 ， 也就沒有超調(diào) 。 減小時間常數(shù)可提高響應(yīng)的速度 。 第 3章 時域分析法 比較式 (314)和式 (315)可知 ， 輸入 R(s)的極點對應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量 ， 而傳遞函數(shù) Φ(s)的極點則產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量 。 這一結(jié)論不僅適用于階線性定常系統(tǒng) ， 而且適用于任何階次的線性定常系統(tǒng) 。 因為沒有超調(diào) ， 系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)主要是調(diào)節(jié)時間 ts。 從響應(yīng)曲線可知： t=3T時 , c(t)=, 故 ts=3T（ 按 177。 5%誤差帶 ） ； t=4T時 , c(t)=, 故 ts=4T（ 按 177。 2%誤差帶 ） 。 第 3章 時域分析法 例 一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖 37所示 ， 其中 KK為開環(huán)放大倍數(shù) ， KH為反饋系數(shù) 。 設(shè) KK＝ 100， KH＝ ， 試求系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間 ts(按 177。 5％ 誤差帶 )。 如果要求 ts＝ s， 求反饋系數(shù) 。 第 3章 時域分析法 圖 37 例 sKkR ( s ) C ( s )－KH第 3章 時域分析法 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 單位斜坡輸入函數(shù)的拉氏變換為 21)(ssR ? 此時系統(tǒng)輸出響應(yīng)的拉氏變換為 11111)( 222 ??????? TsTsTssTssC(316) 第 3章 時域分析法 對上式取拉氏反變換 ， 得 0)1()(1???? ? teTttc tT(317) 誤差信號 e(t)為 e(t)=r(t)c(t)=T(1et/T) (318) 當(dāng) t趨近于無窮大時 ， et/T趨近于 0， 因而誤差信號趨近 于 T， 即 c(∞)=T 第 3章 時域分析法 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 單位脈沖輸入函數(shù)的拉氏變換為 R(s)= L［ δ(t)］ =1 此時系統(tǒng)輸出響應(yīng)的拉氏變換為 TsTTssGsC /1/111)()(?????(319) 對上式取拉氏反變換 ， 得 tTeTtgtc