【正文】 第16章 互換的定價與套利【學習目標】通過本章的學習應掌握互換定價的基本原理。要理解為什么只要把互換分解成債券、一組遠期利率協(xié)議或一組遠期外匯協(xié)議，就可以利用常用的定價方法為互換定價。還要對互換的套利有比較深入的了解。第一節(jié)　互換的定價　　在本節(jié)中，我們首先探討互換與一系列金融工具的關(guān)系，通過將互換分解成一系列我們更加熟悉的金融工具，這可以加深我們對互換這種金融工具的理解并為理解互換的定價原理奠定基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，我們接著討論互換的定價。一、 利率互換的定價如果我們假設(shè)沒有違約風險，利率互換可以通過分解成一個債券的多頭與另一個債券的空頭來定價，也可以通過分解成一個遠期利率協(xié)議的組合來定價。（一）貼現(xiàn)率在給互換和其它柜臺交易市場上的金融工具定價的時候，現(xiàn)金流通常用LIBOR零息票利率貼現(xiàn)。這是因為LIBOR反映了金融機構(gòu)的資金成本。這樣做的隱含假設(shè)是被定價的衍生工具的現(xiàn)金流的風險和銀行同業(yè)拆借市場的風險相同。（二）運用債券組合給利率互換定價考慮一個2003年9月1日生效的三年期的利率互換，名義本金是1億美元。B公司同意支付給A公司年利率為5％的利息，同時A公司同意支付給B公司6個月期LIBOR的利息，利息每半年支付一次。LIBORB公司A公司5% A公司與B公司的利率互換表16－1　利率互換中B公司的現(xiàn)金流量表（百萬美元）日期LIBOR(5%)收到的浮動利息支付的固定利息凈現(xiàn)金流+－－+－－+―＋+－＋+－＋+－＋上述利率互換可以看成是兩個債券頭寸的組合。雖然利率互換不涉及本金交換，我們可以假設(shè)在合約的到期日，A支付給B1億美元的名義本金，同時B也支付給A1億美元的名義本金。這不會改變互換雙方的現(xiàn)金流，所以不會改變互換的價值。這樣，利率互換可以分解成：?！　?的年利率借給B公司1億美元。換個角度看，就是B公司向A公司購買了一份1億美元的浮動利率（LIBOR）債券，同時向A公司出售了一份1億美元的固定利率（5％的年利率，每半年付息一次）債券。因此，對B公司而言，這個利率互換的價值就是浮動利率債券與固定利率債券價值的差。定義:互換合約中分解出的固定利率債券的價值。:互換合約中分解出的浮動利率債券的價值。那么，對B公司而言，這個互換的價值就是　　　　　　　　　　　　?。ǎ榱苏f明公式（）的運用，定義：距第次現(xiàn)金流交換的時間（）。：利率互換合約中的名義本金額。：到期日為的LIBOR零息票利率。：支付日支付的固定利息額。那么，固定利率債券的價值為接著考慮浮動利率債券的價值。根據(jù)浮動利率債券的性質(zhì)，在緊接浮動利率債券支付利息的那一刻，浮動利率債券的價值為其本金。假設(shè)下一利息支付日應支付的浮動利息額為（這是已知的），那么在下一次利息支付前的一刻，浮動利率債券的價值為。在我們的定義中，距下一次利息支付日還有的時間，那么今天浮動利率債券的價值應該為：公式（）給出了利率互換對一個支付固定利率、收入浮動利率的公司的價值，當一個公司收入固定利率，支付固定利率的時候，互換對該公司的價值為　　　　　　　　　　　　（）假設(shè)在一筆互換合約中，某一金融機構(gòu)支付6個月期的LIBOR，同時收取8％的年利率（半年計一次復利），名義本金為1億美元。3個月、9個月和15個月的LIBOR（連續(xù)復利率）分別為10％、％和11％。％（半年計一次復利）。在這個例子中萬，萬，因此億億因此，利率互換的價值為－＝－$427萬如果銀行持有相反的頭寸——收入浮動利率、支付固定利率，那么互換對銀行的價值就是＋427萬美元。利率互換中固定利率一般選擇使互換初始價值為0的那個利率，在利率互換的有效期內(nèi)，它的價值有可能是負的，也有可能是正的。這和遠期合約十分相似，因此利率互換也可以看成遠期合約的組合。（二）運用遠期利率協(xié)議給利率互換定價遠期利率協(xié)議（FRA）是這樣一筆合約，合約里事先確定將來某一時間一筆借款的利率。不過在FRA執(zhí)行的時候，支付的只是市場利率與合約協(xié)定利率的利差。如果市場利率高于協(xié)定利率，貸款人支付給借款人利差，反之由借款人支付給貸款人利差。所以實際上FRA可以看成一個將用事先確定的利率交換市場利率的合約。很明顯，利率互換可以看成是一系列用固定利率交換浮動利率的FRA的組合。只要我們知道組成利率互換的每筆FRA的價值，就計算出利率互換的價值。，在這個利率互換中，B公司和A公司交換了6次現(xiàn)金流。第一次現(xiàn)金流交換在互換簽訂的時候就知道了，其它5次利息的交換可以看成是一系列的FRA。2004年9月1日的利息交換可以看成是用5％的利率交換在2004年3月1日的6個月的市場利率的FRA，2005年3月1日的利息交換可以看成是用5％的利率交換在2004年9月1日的6個月的市場利率的FRA，依此類推。只要知道利率的期限結(jié)構(gòu)，我們就可以計算出FRA對應的遠期利率和FRA的價值，因此運用FRA給利率互換定價的步驟如下：。3個月后要交換的現(xiàn)金流是已知的，％的年利率換入8％年利率。所以這筆交換對金融機構(gòu)的價值是為了計算9個月后那筆現(xiàn)金流交換的價值，我們必須先計算從現(xiàn)在開始3個月到9個月的遠期利率。根據(jù)遠期利率的計算公式從到的遠期利率的計算公式為。，3個月到9個月的遠期利率為％的連續(xù)復利對應的每半年計一次復利的利率為=所以，9個月后那筆現(xiàn)金流交換的價值為同樣，為了計算15個月后那筆現(xiàn)金流交換的價值，我們必須先計算從現(xiàn)在開始9個月到15個月的遠期利率。％的連續(xù)復利對應的每半年計一次復利的利率為假設(shè)是連續(xù)復利的利率，是與之等價的每年計m次復利的利率，那么。=所以，15個月后那筆現(xiàn)金流交換的價值為那么，作為遠期利率協(xié)議的組合，這筆利率互換的價值為這個結(jié)果與運用債券組合定出的利率互換價值一致。二、 貨幣互換的定價（一）運用債券組合給貨幣互換定價在沒有違約風險的條件下，貨幣互換一樣也可以分解成債券的組合，不過不是浮動利率債券和固定利率債券的組合，而是一份外幣債券和一份本幣債券的組合。假設(shè)A公司和B公司在2003年10月1日簽訂了一份5年期的貨幣互換協(xié)議。，合約規(guī)定A公司每年向B公司支付11％的英鎊利息并向B公司收取8％的美元利息。本金分別是1500萬美元和1000萬英鎊。A公司持有的互換頭寸可以看成是一份年利率為8％的美元債券多頭頭寸和一份年利率為11％的英鎊債券空頭頭寸的組合。11%的英鎊利息 B公司A公司8%的美元利息 A公司和B公司的貨幣互換流程圖表16－2　貨幣互換中A公司的現(xiàn)金流量表（百萬）日期美元現(xiàn)金流英鎊現(xiàn)金流－＋+－+－+―+－+－如果我們定義為貨幣互換的價值，那么對收入本幣、付出外幣的那一方：其中是用外幣表示的從互換中分解出來的外幣債券的價值；是從互換中分解出來的本幣債券的價值；是即期匯率（直接標價法）。對付出本幣、收入外幣的那一方：假設(shè)在美國和日本LIBOR利率的期限結(jié)構(gòu)是平的，在日本是4％而在美國是9％（都是連續(xù)復利），某一金融機構(gòu)在一筆貨幣互換中每年收入日元，利率為5％，同時付出美元，利率為8％。兩種貨幣的本金分別為1000萬美元和120000萬日元。這筆互換還有3年的期限，即期匯率為1美元＝110日元。如果以美元為本幣，那么萬美元萬日元貨幣互換的價值為如果該金融機構(gòu)是支付日元收入美元，則貨幣互換對它的價值為－。（二）運用遠期組合給貨幣互換定價貨幣互換還可以分解成一系列遠期合約的組合，貨幣互換中的每一次支付都可以用一筆遠期外匯協(xié)議的現(xiàn)金流來代替。因此只要能夠計算貨幣互換中分解出來的每筆遠期外匯協(xié)議的價值，就可以知道對應的貨幣互換的價值。