【正文】 大學(xué)物理習(xí)題及解答習(xí)題一11 ｜｜與有無(wú)不同?和有無(wú)不同? 和有無(wú)不同?其不同在哪里?試舉例說(shuō)明．解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，；（2）是速度的模，即.只是速度在徑向上的分量.∵有（式中叫做單位矢），則式中就是速度徑向上的分量，∴不同如題11圖所示. 題11圖 (3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.∵有表軌道節(jié)線方向單位矢），所以式中就是加速度的切向分量.(的運(yùn)算較復(fù)雜，超出教材規(guī)定，故不予討論)12 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為=()，=()，在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，有人先求出r＝，然后根據(jù)=，及＝而求得結(jié)果；又有人先計(jì)算速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)果，即 =及= 你認(rèn)為兩種方法哪一種正確？為什么？?jī)烧卟顒e何在？解：，在平面直角坐標(biāo)系中，有，故它們的模即為而前一種方法的錯(cuò)誤可能有兩點(diǎn)，其一是概念上的錯(cuò)誤，即誤把速度、加速度定義作其二，可能是將誤作速度與加速度的模。在11題中已說(shuō)明不是速度的模，而只是速度在徑向上的分量，同樣，也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中的一部分?；蛘吒爬ㄐ缘卣f(shuō)，前一種方法只考慮了位矢在徑向（即量值）方面隨時(shí)間的變化率，而沒(méi)有考慮位矢及速度的方向隨間的變化率對(duì)速度、加速度的貢獻(xiàn)。13 一質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為=3+5, =2+34.式中以 s計(jì)，,以m計(jì)．(1)以時(shí)間為變量，寫出質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 時(shí)刻和＝2s 時(shí)刻的位置矢量，計(jì)算這1秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移；(3)計(jì)算＝0 s時(shí)刻到＝4s時(shí)刻內(nèi)的平均速度；(4)求出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算＝4 s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度；(5)計(jì)算＝0s 到＝4s 內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度；(6)求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的表示式，計(jì)算＝4s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度(請(qǐng)把位置矢量、位移、平均速度、瞬時(shí)速度、平均加速度、瞬時(shí)加速度都表示成直角坐標(biāo)系中的矢量式)．解：（1） (2)將,代入上式即有 (3)∵ ∴ (4) 則 (5)∵ (6) 這說(shuō)明該點(diǎn)只有方向的加速度，且為恒量。14 在離水面高h(yuǎn)米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，如題14圖所示．當(dāng)人以(m)的速率收繩時(shí)，試求船運(yùn)動(dòng)的速度和加速度的大小． 圖14解： 設(shè)人到船之間繩的長(zhǎng)度為，此時(shí)繩與水面成角，由圖可知 將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 題14圖根據(jù)速度的定義，并注意到,是隨減少的，∴ 即 或 將再對(duì)求導(dǎo)，即得船的加速度15 質(zhì)點(diǎn)沿軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為 ＝2+6，的單位為，的單位為 m. 質(zhì)點(diǎn)在＝0處，速度為10,試求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值．解： ∵ 分離變量： 兩邊積分得 由題知，時(shí)，,∴∴ 16 已知一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為 ＝4+3，開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，＝5 m，=0，求該質(zhì)點(diǎn)在＝10s 時(shí)的速度和位置． 解：∵ 分離變量，得 積分，得 由題知，,∴故 又因?yàn)? 分離變量， 積分得 由題知 ,∴故 所以時(shí)17 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為1 m 的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為 =2+3，式中以弧度計(jì)，以秒計(jì)，求：(1) ＝2 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的切向和法向加速度；(2)當(dāng)加速度的方向和半徑成45176。角時(shí)，其角位移是多少? 解： (1)時(shí)， (2)當(dāng)加速度方向與半徑成角時(shí)，有即 亦即 則解得 于是角位移為18 質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周按＝的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，式中為質(zhì)點(diǎn)離圓周上某點(diǎn)的弧長(zhǎng),，都是常量，求：(1)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度；(2) 為何值時(shí)，加速度在數(shù)值上等于．解：（1） 則 加速度與半徑的夾角為(2)由題意應(yīng)有即 ∴當(dāng)時(shí)，19 半徑為的輪子，以勻速沿水平線向前滾動(dòng)：(1)證明輪緣上任意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為＝，＝，式中/是輪子滾動(dòng)的角速度，當(dāng)與水平線接觸的瞬間開(kāi)始計(jì)時(shí)．此時(shí)所在的位置為原點(diǎn)，輪子前進(jìn)方向?yàn)檩S正方向；(2)求點(diǎn)速度和加速度的分量表示式．解：依題意作出下圖，由圖可知題19圖(1) (2)110 以初速度＝20拋出一小球，拋出方向與水平面成幔60176。的夾角，求：(1)球軌道最高點(diǎn)的曲率半徑；(2)落地處的曲率半徑．(提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關(guān)系)解：設(shè)小球所作拋物線軌道如題110圖所示．題110圖(1)在最高點(diǎn)，又∵ ∴ (2)在落地點(diǎn)，,而 ∴ 111 m，自靜止啟動(dòng)，其角加速度為β= rad，求＝2s時(shí)邊緣上各點(diǎn)的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．解：當(dāng)時(shí)，則112 如題112圖，物體以相對(duì)的速度＝沿斜面滑動(dòng)，為縱坐標(biāo)，開(kāi)始時(shí)在斜面頂端高為處，物體以勻速向右運(yùn)動(dòng)，求物滑到地面時(shí)的速度．解：當(dāng)滑至斜面底時(shí)，則,物運(yùn)動(dòng)過(guò)程中又受到的牽連運(yùn)動(dòng)影響，因此，對(duì)地的速度為題112圖113 一船以速率＝30kmh1沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率＝40kmh1沿直線向北行駛，問(wèn)在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何? 解：(1)大船看小艇，則有，依題意作速度矢量圖如題113圖(a)題113圖由圖可知 方向北偏西 (2)小船看大船，則有，依題意作出速度矢量圖如題113圖(b)，同上法，得方向南偏東114 當(dāng)一輪船在雨中航行時(shí)，它的雨篷遮著篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但當(dāng)輪船停航時(shí)，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前3 m ，如雨滴的速度大小為8 ms1，求輪船的速率．解： 依題意作出矢量圖如題114所示．題114圖∵ ∴ 由圖中比例關(guān)系可知習(xí)題二21 一細(xì)繩跨過(guò)一定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為的物體，另一邊穿在質(zhì)量為的圓柱體的豎直細(xì)孔中，圓柱可沿繩子滑動(dòng)．今看到繩子從圓柱細(xì)孔中加速上升，柱體相對(duì)于繩子以勻加速度下滑，求，相對(duì)于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦力(繩輕且不可伸長(zhǎng)，滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計(jì))．解：因繩不可伸長(zhǎng)，故滑輪兩邊繩子的加速度均為，其對(duì)于則為牽連加速度，又知對(duì)繩子的相對(duì)加速度為，故對(duì)地加速度，由圖(b)可知，為 ①又因繩的質(zhì)量不計(jì)，所以圓柱體受到的摩擦力在數(shù)值上等于繩的張力，由牛頓定律，有 ② ③聯(lián)立①、②、③式，得討論 (1)若，則表示柱體與繩之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)．(2)若，則，表示柱體與繩之間無(wú)任何作用力，此時(shí), 均作自由落體運(yùn)動(dòng)．題21圖22 一個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面（傾角為）上以初速度運(yùn)動(dòng)，的方向與斜面底邊的水平線平行，如圖所示，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道．解: 物體置于斜面上受到重力，：取方向?yàn)檩S，.題22圖方向： ①方向： ② 時(shí) 由①、②式消去，得23 質(zhì)量為16 kg 的質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，受一恒力作用，力的分量為＝6 N，＝7 N，當(dāng)＝0時(shí)，0，＝2 ms1，＝0．求當(dāng)＝2 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的 (1)位矢；(2)速度．解： (1)于是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的速度(2)24 質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng)，受與速度成正比的阻力(為常數(shù))作用，=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為，證明(1) 時(shí)刻的速度為＝；(2) 由0到的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的距離為＝()［1］；(3)停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過(guò)的距離為；(4)證明當(dāng)時(shí)速度減至的，式中m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量．答: (1)∵ 分離變量，得即 ∴ (2) (3)質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為零，即t→∞，故有 (4)當(dāng)t=時(shí)，其速度為即速度減至的.25 升降機(jī)內(nèi)有兩物體，質(zhì)量分別為，且＝2．用細(xì)繩連接，跨過(guò)滑輪,繩子不可伸長(zhǎng)，滑輪質(zhì)量及一切摩擦都忽略不計(jì)，當(dāng)升降機(jī)以勻加速＝g上升時(shí)，求：(1) 和相對(duì)升降機(jī)的加速度．(2)在地面上觀察，的加速度各為多少?解: 分別以,為研究對(duì)象，其受力圖如圖(b)所示．(1)設(shè)相對(duì)滑輪(即升降機(jī))的加速度為，則對(duì)地加速度；因繩不可伸長(zhǎng)，故對(duì)滑輪的加速度亦為，又在水平方向上沒(méi)有受牽連運(yùn)動(dòng)的影響，所以在水平方向?qū)Φ丶铀俣纫酁?，由牛頓定律，有題25圖聯(lián)立，解得方向向下(2) 對(duì)地加速度為 方向向上在水面方向有相對(duì)加速度，豎直方向有牽連加速度，即∴ ，左偏上．26一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以與地的仰角=30176。的初速?gòu)牡孛鎾伋?，若忽略空氣阻力，求質(zhì)點(diǎn)落地時(shí)相對(duì)拋射時(shí)的動(dòng)量的增量．解: 依題意作出示意圖如題26圖題26圖在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時(shí)的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下,而拋物線具有對(duì)軸對(duì)稱性，故末速度與軸夾角亦為，則動(dòng)量的增量為由矢量圖知，動(dòng)量增量大小為，方向豎直向下．27 一質(zhì)量為的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞．并在拋出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與拋出時(shí)相等．求小球與桌面碰撞過(guò)程中，桌面給予小球的沖量的大小和方向．并回答在碰撞過(guò)程中，小球的動(dòng)量是否守恒?解: 由題知，小球落地時(shí)間為．因小球?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)，故小球落地的瞬時(shí)向下的速度大小為，小球上跳速度的大小亦為．設(shè)向上為軸正向，則動(dòng)量的增量方向豎直向上，大小 碰撞過(guò)程中動(dòng)量不守恒．這是因?yàn)樵谂鲎策^(guò)程中，小球受到地面給予的沖力作用．另外，碰撞前初動(dòng)量方向斜向下，碰后末動(dòng)量方向斜向上，這也說(shuō)明動(dòng)量不守恒．28 作用在質(zhì)量為10 kg的物體上的力為N，式中的單位是s，(1)求4s后，這物體的動(dòng)量和速度的變化，以及力給予物體的沖量．(2)為了使這力的沖量為200 Ns，該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來(lái)靜止的物體和一個(gè)具有初速度ms1的物體,回答這兩個(gè)問(wèn)題．解: (1)若物體原來(lái)靜止，則,沿軸正向，若物體原來(lái)具有初速，則于是,同理， ,這說(shuō)明，只要力函數(shù)不變，作用時(shí)間相同，則不管物體有無(wú)初動(dòng)量，也不管初動(dòng)量有多大，那么物體獲得的動(dòng)量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動(dòng)量定理．(2)同上理，兩種情況中的作用時(shí)間相同，即亦即 解得，(舍去)29 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，其位置矢量為求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及＝0 到時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受的合力的沖量和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的改變量．解: 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為將和分別代入上式，得,則動(dòng)量的增量亦即質(zhì)點(diǎn)所受外力的沖量為210 一顆子彈由槍口射出時(shí)速率為，當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為 F =()N(為常數(shù))，其中以秒為單位：(1)假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，試計(jì)算子彈走完槍筒全長(zhǎng)所需時(shí)間；(2)求子彈所受的沖量．(3)求子彈的質(zhì)量．解: (1)由題意，子彈到槍口時(shí)，有,得(2)子彈所受的沖量將代入，得(3)由動(dòng)量定理可求得子