高考數(shù)學(xué)競(jìng)賽二次函數(shù)與命題教案講義(已修改)
2025-06-20 00:21 本頁(yè)面
【正文】 第二章 二次函數(shù)與命題一、基礎(chǔ)知識(shí)1．二次函數(shù)：當(dāng)0時(shí)，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c稱為關(guān)于x的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為直線x=，另外配方可得f(x)=a(xx0)2+f(x0)，其中x0=，下同。2 二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)a0時(shí)，f(x)的圖象開口向上，在區(qū)間（∞，x0]上隨自變量x增大函數(shù)值減?。ê?jiǎn)稱遞減），在[x0, ∞）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡(jiǎn)稱遞增）。當(dāng)a0時(shí)，情況相反。 3．當(dāng)a0時(shí)，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c0…②及ax2+bx+c0…③與函數(shù)f(x)的關(guān)系如下（記△=b24ac）。1）當(dāng)△0時(shí)，方程①有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)x1,x2(x1x2)，不等式②和不等式③的解集分別是{x|xx1或xx2}和{x|x1xx2}，二次函數(shù)f(x)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，f(x)還可寫成f(x)=a(xx1)(xx2).2）當(dāng)△=0時(shí)，方程①有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2=x0=,不等式②和不等式③的解集分別是{x|x}和空集，f(x)的圖象與x軸有唯一公共點(diǎn)。3）當(dāng)△0時(shí)，方程①無(wú)解，不等式②和不等式③(x)圖象與x軸無(wú)公共點(diǎn)。當(dāng)a0時(shí)，請(qǐng)讀者自己分析。4．二次函數(shù)的最值：若a0，當(dāng)x=x0時(shí)，f(x)取最小值f(x0)=,若a0，則當(dāng)x=x0=時(shí)，f(x)取最大值f(x0)=.對(duì)于給定區(qū)間[m,n]上的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)，當(dāng)x0∈[m, n]時(shí)，f(x)在[m, n]上的最小值為f(x0)。 當(dāng)x0m時(shí)。f(x)在[m, n]上的最小值為f(m)；當(dāng)x0n時(shí)，f(x)在[m, n]上的最小值為f(n)（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出）。定義1 能判斷真假的語(yǔ)句叫命題，如“35”是命題，“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡(jiǎn)單命題，由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題。注1 “p或q”復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同為假命題時(shí)為假，否則為真命題；“p且q”復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同時(shí)為真命題時(shí)為真，否則為假命題；p與“非p”即“p”恰好一真一假。定義2 原命題：若p則q（p為條件，q為結(jié)論）；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p。注2 原命題與其逆否命題同真假。一個(gè)命題的逆命題和否命題同真假。注3 反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。
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