高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案(第47講)拋物線(已修改)
2025-06-19 23:22 本頁面
【正文】 題目 第八章圓錐曲線拋物線高考要求 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)了解圓錐曲線的初步應(yīng)用 知識點歸納 1拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2拋物線的圖形和性質(zhì)：①頂點是焦點向準(zhǔn)線所作垂線段中點。②焦準(zhǔn)距：③通徑：過焦點垂直于軸的弦長為。④頂點平分焦點到準(zhǔn)線的垂線段：。⑤焦半徑為半徑的圓：以P為圓心、FP為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切。所有這樣的圓過定點F、準(zhǔn)線是公切線。⑥焦半徑為直徑的圓：以焦半徑 FP為直徑的圓必與過頂點垂直于軸的直線相切。所有這樣的圓過定點F、過頂點垂直于軸的直線是公切線。⑦焦點弦為直徑的圓：以焦點弦PQ為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切。所有這樣的圓的公切線是準(zhǔn)線。3拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：4拋物線的圖像和性質(zhì)：①焦點坐標(biāo)是：，②準(zhǔn)線方程是：。③焦半徑公式：若點是拋物線上一點，則該點到拋物線的焦點的距離（稱為焦半徑）是：，④焦點弦長公式：過焦點弦長⑤拋物線上的動點可設(shè)為P或或P5一般情況歸納：方程圖象焦點準(zhǔn)線定義特征y2=kxk0時開口向右(k/4,0)x= ─k/4到焦點(k/4,0)的距離等于到準(zhǔn)線x= ─k/4的距離k0時開口向左x2=kyk0時開口向上(0,k/4)y= ─k/4到焦點(0,k/4)的距離等于到準(zhǔn)線y= ─k/4的距離k0時開口向下題型講解 例1 求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：（1）過點（－3，2）；（2）焦點在直線x－2y－4=0上分析：從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一個待定系數(shù)p；從實際分析，一般需確定p和確定開口方向兩個條件，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論解：（1）設(shè)所求的拋物線方程為y2=－2px或x2=2py（p＞0），∵過點（－3，2），∴4=－2p（－3）或9=2p2∴p=或p=∴所求的拋物線方程為y2=－x或x2=y，前者的準(zhǔn)線方程是x=，后者的準(zhǔn)線方程是y=－（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，∴拋物線的焦點為（4，0）或（0，－2）當(dāng)焦點為（4，0）時，=4，∴p=8，此時拋物線方程y2=16x；焦點為（0，－2）時，=2，∴p=4，此時拋物線方程為x2=－8y∴所求的拋物線的方程為y2=16x或x2=－8y，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x=－4，y=2點評：這里易犯的錯誤就是缺少對開口方向的討論，先入為主，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解，以致失去一解例2 如下圖所示，直線相交于點M,點,以A、B為端點的曲線段C上的任一點到 的距離與到點N的距離相等若為銳角三角形,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線段 C的方程分 析：由題意所求曲線段是拋物線的一部分，求曲線方程需建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出拋物線方程，由條件求出待定系數(shù)即可，求出曲線方程后要標(biāo)
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