【正文】 第十五章　二次根式,了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式的概念,會(huì)辨別一個(gè)根式是否為最簡(jiǎn)二次根式.,會(huì)根據(jù)它們熟練地進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn).(根號(hào)下僅限于數(shù))加、減、乘、除運(yùn)算法則,會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算,會(huì)將分母中含有一個(gè)二次根式(根號(hào)下僅限于數(shù))的式子進(jìn)行分母有理化.,提高運(yùn)算能力.、探究二次根式的有關(guān)性質(zhì)和運(yùn)算法則.,理解“從特殊到一般”,再“從一般到特殊”的探究事物規(guī)律的方法.,培養(yǎng)學(xué)生探求知識(shí)的欲望,讓學(xué)生體驗(yàn)成功的樂(lè)趣.“逆向思維”和“類(lèi)比思維”提出問(wèn)題與解決問(wèn)題,以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng).(1)在第十四章已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方根、算術(shù)平方根的概念,還學(xué)習(xí)了借助于平方運(yùn)算來(lái)求非負(fù)數(shù)的平方根、,結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的需要,引入二次根式的概念,并以“同一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是唯一的”為依據(jù),得到二次根式的基本性質(zhì).(2)二次根式的基本性質(zhì)是二次根式化簡(jiǎn)的基本依據(jù),用它可將任何一個(gè)二次根式化成與之等值的最簡(jiǎn)二次根式,教材既突出了化簡(jiǎn)的依據(jù),又突出了化簡(jiǎn)的實(shí)施方法.(3)二次根式基本性質(zhì)的逆向應(yīng)用,輔以例示解析的過(guò)程,引導(dǎo)學(xué)生掌握二次根式的乘除運(yùn)算(包括簡(jiǎn)單的分母有理化)。二次根式的加減運(yùn)算,實(shí)際上是以二次根式的化簡(jiǎn)為前提,而后合并“同類(lèi)的最簡(jiǎn)二次根式”.教材借助于和“整式加減的合并同類(lèi)項(xiàng)”的類(lèi)比,啟發(fā)學(xué)生自主地理解并掌握這類(lèi)運(yùn)算。在二次根式的混合運(yùn)算中,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到:與數(shù)、整式和分式的混合運(yùn)算一樣,二次根式的混合運(yùn)算也是先算乘除,后算加減,有括號(hào)時(shí),先算括號(hào)內(nèi)的.(4)通過(guò)對(duì)本章的學(xué)習(xí),可以更概括、更統(tǒng)一地認(rèn)識(shí)“式”的意義和發(fā)展層次,可以更概括、更統(tǒng)一地認(rèn)識(shí)“式的化簡(jiǎn)”與“式的運(yùn)算”的依據(jù)和實(shí)施的共性,從而更好地提高運(yùn)算能力.【重點(diǎn)】..【難點(diǎn)】　二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算.,讓學(xué)生在概念形成的過(guò)程中,逐步理解所學(xué)的概念.概念是由具體到抽象、由特殊到一般,經(jīng)過(guò)分析,綜合去掉非本質(zhì)特征,要讓學(xué)生親身經(jīng)歷活動(dòng),感受引入的必要性,初步認(rèn)識(shí)二次根式所表示的意義..教學(xué)中應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生進(jìn)行充分的探索和交流,給學(xué)生充分的活動(dòng)時(shí)間與空間,如最簡(jiǎn)二次根式是一個(gè)怎樣的式子,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分進(jìn)行交流、討論與探索等數(shù)學(xué)活動(dòng),從中感受最簡(jiǎn)二次根式應(yīng)滿(mǎn)足的條件。再如二次根式的性質(zhì),在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷從具體問(wèn)題到一般規(guī)律的探索過(guò)程,并鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言清楚地表達(dá).,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到新舊知識(shí)間的區(qū)別與聯(lián)系.在二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算的教學(xué)中,、整式和分式一樣,有關(guān)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算,相應(yīng)的運(yùn)算律、運(yùn)算法則、運(yùn)算順序,乘法公式同樣適用.2課時(shí)1課時(shí)1課時(shí)1課時(shí)回顧與思考1課時(shí)　二次根式、最簡(jiǎn)二次根式的概念.,()2,(其中a≥0)的意義..:由特殊到一般,由簡(jiǎn)單到復(fù)雜.,體會(huì)用類(lèi)比的思想研究二次根式及其性質(zhì).、思考和交流的機(jī)會(huì),關(guān)注學(xué)生思考問(wèn)題的過(guò)程.,激發(fā)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的熱情.、敢于實(shí)踐、善于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神以及合作精神,樹(shù)立創(chuàng)新意識(shí).【重點(diǎn)】　二次根式的概念與性質(zhì).【難點(diǎn)】　二次根式基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用.第課時(shí).,并能利用它們進(jìn)行化簡(jiǎn)和計(jì)算.、比較、總結(jié)的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力.,體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂(lè),并提高應(yīng)用的意識(shí)和對(duì)數(shù)學(xué)的探究能力.,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的熱情.、敢于實(shí)踐、善于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神以及合作精神,樹(shù)立創(chuàng)新意識(shí).【重點(diǎn)】　二次根式的概念和簡(jiǎn)單性質(zhì).【難點(diǎn)】　二次根式的簡(jiǎn)單性質(zhì).【教師準(zhǔn)備】　課件1~7.【學(xué)生準(zhǔn)備】　復(fù)習(xí)平方根與算術(shù)平方根的知識(shí).導(dǎo)入一::什么叫平方根?什么叫算術(shù)平方根?2.【課件1】　填空.(1)的平方根是　　　　。(2)一個(gè)圓的面積為S,這個(gè)圓的半徑是　　　　。(3)若正方形的面積為a4,則邊長(zhǎng)為　　　　.學(xué)生思考并回答.:你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特征嗎?學(xué)生觀察,總結(jié)共同特征并表述意見(jiàn).[設(shè)計(jì)意圖]　喚起學(xué)生對(duì)于平方根和算術(shù)平方根的記憶,、歸納,為后面學(xué)習(xí)二次根式的概念及其基本性質(zhì)做好鋪墊.導(dǎo)入二:,則正方形的邊長(zhǎng)是　　　　.:你認(rèn)為所得的代數(shù)式有什么特點(diǎn)?(教師鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言總結(jié)出特征,鼓勵(lì)學(xué)生大膽表述意見(jiàn),然后作適當(dāng)點(diǎn)評(píng),板書(shū)本課課題)[設(shè)計(jì)意圖]　讓學(xué)生在實(shí)際情境中寫(xiě)出表示算術(shù)平方根的式子,一方面復(fù)習(xí)了舊知識(shí),調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性.導(dǎo)入三:在第十四章,我們學(xué)習(xí)了平方根及算術(shù)平方根,知道當(dāng)a≥0時(shí),表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根,177。表示非負(fù)數(shù)a的平方根。,177。都表示非負(fù)數(shù)a的開(kāi)平方,中“”表示一種運(yùn)算,因此,(a≥0)還有一個(gè)名字,你知道嗎?[設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)復(fù)習(xí)平方根和算術(shù)平方根的表示方法和意義,引出的另一個(gè)名稱(chēng),引起學(xué)生思考,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.活動(dòng)一:二次根式的概念　　[過(guò)渡語(yǔ)]　我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)的開(kāi)平方,并用(a≥0),我們首先來(lái)學(xué)習(xí)二次根式的定義.思路一【課件2】　(教材第90頁(yè)一起探究)1.(1)2,18,的算術(shù)平方根是怎樣表示的?(2)非負(fù)數(shù)m,p+q,t21的算術(shù)平方根又是怎樣表示的? m2的圓形噴水池,它的半徑應(yīng)為多少米?如果在這個(gè)圓形噴水池的外圍增加一個(gè)占地面積為a m2的環(huán)形綠化帶,那么所成大圓的半徑應(yīng)為多少米?引導(dǎo)學(xué)生分析得出::(1),.　(2),.2. 解:,.引導(dǎo)學(xué)生概括二次根式的定義:在上面的問(wèn)題中,我們得到了,,等式子,我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.[知識(shí)拓展]　(1)二次根式的被開(kāi)方數(shù)a可能為整式,也可能為分式,因此要分清a所代表的式子類(lèi)型.(2)本身作分母時(shí),要注意只能大于0,不能等于0.(3)要注意,等,這時(shí)無(wú)論a取何值都有意義.[設(shè)計(jì)意圖]　讓學(xué)生通過(guò)自己思考,得出表示這些數(shù)的一般形式,體會(huì)概念是由具體到抽象、由特殊到一般的過(guò)程形成的,進(jìn)而給出二次根式的概念.【課件3】　判斷下列各式是二次根式嗎??！、??！　！?m≤0)?！?x,y異號(hào))?！??！?1?！?學(xué)生快速回答,共同分析.[設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)小練習(xí)及時(shí)檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)二次根式概念的理解和把握,二次根式根號(hào)內(nèi)被開(kāi)方數(shù)的取值范圍一定要大于或等于0.思路二活動(dòng):(引導(dǎo)學(xué)生概括二次根式的定義:像,這樣表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的式子叫做二次根式)概念深化:提問(wèn):+1是不是二次根式?呢?議一議:二次根式表示什么意義?此算術(shù)平方根的被開(kāi)方數(shù)是什么?被開(kāi)方數(shù)必須滿(mǎn)足什么條件的二次根式才有意義?其中字母a要滿(mǎn)足什么條件?為什么?【展示點(diǎn)評(píng)】經(jīng)學(xué)生討論后,讓學(xué)生回答,并讓其他的學(xué)生點(diǎn)評(píng).最后教師歸納:一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根才是二次根式,如果無(wú)法判斷被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù),那么這個(gè)式子就不能說(shuō)是二次根式.+1中的a可能為正,也可能為負(fù),所以不能說(shuō)這個(gè)式子是二次根式,中的a+1也可能為正,也可能為負(fù),所以也不能說(shuō)這個(gè)式子是二次根式.【反思小結(jié)】教師總結(jié):從形式上看,二次根式必須具備以下兩個(gè)條件:(1)必須有二次根號(hào)。(2)被開(kāi)方數(shù)不能小于0.[設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)探究促使學(xué)生獨(dú)立思考、合作探討,并最終獲得結(jié)論,有利于幫助學(xué)生從被動(dòng)地接受知識(shí)到主動(dòng)地探索新知,滿(mǎn)足學(xué)生的多樣化學(xué)習(xí)需求,通過(guò)學(xué)生自己歸納總結(jié),讓學(xué)生經(jīng)歷二次根式概念的形成過(guò)程,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,避免了概念教學(xué)的機(jī)械記憶,同時(shí)提高學(xué)生的概括總結(jié)能力,培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.活動(dòng)二:二次根式的簡(jiǎn)單性質(zhì)　　[過(guò)渡語(yǔ)]　了解了二次根式的概念,實(shí)際上(a≥0)表示的就是我們以前學(xué)過(guò)的非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根,下面我們來(lái)研究一下它有哪些簡(jiǎn)單性質(zhì).思路一【課件4】　(教材第90頁(yè)大家談?wù)?小亮和小穎對(duì)二次根式“(a≥0)”?請(qǐng)舉例說(shuō)明.小亮的觀點(diǎn):因?yàn)楸硎镜氖欠秦?fù)數(shù)a的算術(shù)平方根,所以根據(jù)算術(shù)平方根的意義,有≥0.小穎的觀點(diǎn):因?yàn)楸硎镜氖欠秦?fù)數(shù)a的算術(shù)平方根,所以根據(jù)算術(shù)平方根和被開(kāi)方數(shù)的意義,有()2=a.學(xué)生討論舉例后得出小亮和小穎的觀點(diǎn)都正確.教師總結(jié):(1)(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù),即具有雙重非負(fù)性,一是被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù),二是它的結(jié)果是非負(fù)數(shù)。(2)()2=a(a≥0),即非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方等于a.【課件5】　做一做:=　　　　。=　　　　。=　　　　。=　　　　。=　　　　.教師點(diǎn)評(píng):根據(jù)算術(shù)平方根的意義,我們可以得到:=2。=。=0.想一想:根據(jù)上面的計(jì)算,你能得到什么結(jié)論?學(xué)生討論得出,一般地,=a(a≥0).【課件6】　(教材第91頁(yè)做一做)化簡(jiǎn).(1)()2?！?2)。　(3)?！?4).教師指名回答,公布答案.解:(1)()2=3.　(2).　(3)=5.　(4).思路二我們知道非負(fù)數(shù)有算術(shù)平方根,所以根據(jù)算術(shù)平方根的意義,我們不難得到非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根還是非負(fù)數(shù),即≥0(a≥0).:()2=a(a≥0).(1)觀察:22=4,即()2=4。32=9,即()2=9……(2)提問(wèn):觀察上述等式的兩邊,你得到什么啟示?(3)板書(shū):當(dāng)a≥0時(shí),=a.[設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)觀察、思考、解答,培養(yǎng)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,使學(xué)生真正成為知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)者.:=a(a≥0).(1)提問(wèn):等于什么?(2)舉例:=2。=2。=3。=3……(3)發(fā)現(xiàn):當(dāng)a≥0時(shí),=a。當(dāng)a0時(shí),=a.(4)歸納:()2和的區(qū)別.學(xué)生討論,回答.說(shuō)明:關(guān)鍵抓住被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性和(a≥0)的非負(fù)性.[知識(shí)拓展]　理解()2和時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)從a的取值范圍理解:中的a為全體實(shí)數(shù),而()2中的a為非負(fù)數(shù).(2)從所得的結(jié)果理解:,而()2=a,也就是說(shuō)當(dāng)a≥0時(shí),=()2.[設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)比較、討論、試做的教學(xué)方式,加深學(xué)生對(duì)兩個(gè)性質(zhì)的認(rèn)識(shí),同時(shí),也關(guān)注了學(xué)生學(xué)習(xí)方式的個(gè)性化,做到既著眼于共同發(fā)展,又關(guān)注于個(gè)性差異.活動(dòng)三:例題講解【課件7】　化簡(jiǎn).(1)?！?2).〔解析〕　=,可以利用=a(a≥0)化簡(jiǎn).解:(1)=.　(2)=12=1.[設(shè)計(jì)意圖]　盡管問(wèn)題相對(duì)簡(jiǎn)單,但規(guī)范的解答還是非常有必要的,要養(yǎng)成學(xué)生學(xué)習(xí)一個(gè)新概念時(shí)穩(wěn)扎穩(wěn)打的態(tài)度,這樣對(duì)于概念才會(huì)認(rèn)識(shí)得更深更透.一般地,把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.判斷一個(gè)式子是不是二次根式,一定要緊扣定義,看所給的式子是否同時(shí)具備如下兩個(gè)特征:(1)帶有二次根號(hào)“”,即根指數(shù)是2。(2)被開(kāi)方數(shù)不小于零.只有同時(shí)滿(mǎn)足上述兩個(gè)特征,才是二次根式,如果不滿(mǎn)足其中任何一個(gè)特征,就不是二次根式.(1)當(dāng)a≥0時(shí),()2=a。(2)當(dāng)a≥0時(shí),=a.,不是二次根式的是 (　　)A. B. C. D.解析:根據(jù)二次根式的定義,可知二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù),因?yàn)榈谋婚_(kāi)方數(shù)小于零,.,那么a應(yīng)滿(mǎn)足(　　)≥0 ≠3 =3 ≥3解析:∵是二次根式,∴a3≥0,解得a≥.,則化簡(jiǎn)的結(jié)果是 (　　) D.|a|解析:∵當(dāng)a0時(shí),=|a|=≥0時(shí),=|a|=.:=4。②()2=16。③()2=4。= (　　)A.①② B.③④ C.②④ D.①③解析:=4,正確。②()2=4≠16,不正確。③()2=4,符合二次根式的意義,正確。=4≠4,不正確.①③.=2x,那么x的取值范圍是 (　　)≤2 2 ≥2 2解析:根據(jù)二次根式的結(jié)果是非負(fù)數(shù),可得不等式2x≥0,解得x≤. (　　) 解析:==..(1)完成下列填空:=　　　　,=　　　　,=　　　　,④ =　　　　.(2)利用(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算:①若x2,則=　　　　。=　　　　.解析:根據(jù)即可得解.答案:(1)①3　②?、?　　(2)①x2　②,下列各式為二次根式?(1)?！?2).解析:根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù),可得答案.解:(1)由3x≥0,得x≤0,所以當(dāng)x≤0時(shí),是二次根式.(2)根據(jù)題意得2x0,得x2,所以當(dāng)x2時(shí),是二次根式.,哪些是二次根式,哪些不是,為什么?,,(a≥0),.解析:二次根式要滿(mǎn)足兩個(gè)條件:(1)帶有二次根號(hào)“”,即根指數(shù)是2。(2)被開(kāi)方數(shù)不小于零.解:,,(a≥0),符合二次根式的形式,故是二次根式。的根指數(shù)是3,故不是二次根式。的被開(kāi)方數(shù)小于0,無(wú)意義,故不是二次根式..x為何值時(shí),有意義?解:根據(jù)題意得x(x1)≥0,由乘法法則得或解得x≥1或x≤0,即當(dāng)x≥1或x≤0時(shí),有意義.體會(huì)解題思想后,求當(dāng)x為何值時(shí),有意義.解析:根據(jù)題目信息進(jìn)行解答.解:要使有意義,則≥0,所以或解得x≥2或x,即當(dāng)x≥2或x時(shí),有意義.=3,求(x+y)4的值.解析:先根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的值,進(jìn)而得出y的值,代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可.解:∵與有意義,∴解得x=2,∴y=3,∴(23)4=1.第1課時(shí)活動(dòng)一:二次根式的概念活動(dòng)二:二次根式的簡(jiǎn)單性質(zhì)活動(dòng)三:例題講解例題一、教材作業(yè)【必做題】.,2題.【選做題】教材第92頁(yè)習(xí)題B組第1,2題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】,正確的結(jié)果是 (　　)A.177。72 (　　)A. B.C. D.:。.其中二次根式的個(gè)數(shù)有 (　　) ,則a的值可能是 (　　) ,則x的取值范圍是 (　　)≥ ≤≥ ≤,則x的 (　　) 【能力提升】,b的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示,則+a的化簡(jiǎn)結(jié)果為 (　　) +b ?(1)。　(2)?！?3)。　(4)?！?5).,下列各式有意義?(1)?！?2) ?！?3)+1?！?4) ?！?5)?！?