【正文】 1 因子分析 2 167。 1 引言 因子分析 (factor analysis)是一種數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化的技術(shù) 。它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系 ， 探求觀測(cè)數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu) ， 并用少數(shù)幾個(gè)假想變量來表示其基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 。 這幾個(gè)假想變量能夠反映原來眾多變量的主要信息 。 原始的變量是可觀測(cè)的顯在變量 ， 而假想變量是不可觀測(cè)的潛在變量 ， 稱為因子 。 例如 ， 在企業(yè)形象或品牌形象的研究中 ， 消費(fèi)者可以通過一個(gè)有 24個(gè)指標(biāo)構(gòu)成的評(píng)價(jià)體系 ， 評(píng)價(jià)百貨商場(chǎng)的 24個(gè)方面的優(yōu)劣 。 3 但消費(fèi)者主要關(guān)心的是三個(gè)方面，即商店的環(huán)境、商店的服務(wù)和商品的價(jià)格。因子分析方法可以通過 24個(gè)變量，找出反映商店環(huán)境、商店服務(wù)水平和商品價(jià)格的三個(gè)潛在的因子，對(duì)商店進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。 而這三個(gè)公共因子可以表示為： iiiiii FFFx ????? ????? 33221124,1 ??i 稱 是不可觀測(cè)的潛在因子 。 24個(gè)變量共享這三個(gè)因子 ， 但是每個(gè)變量又有自己的個(gè)性 ，不被 包含的部分 ， 稱為特殊因子 。 321 FFF 、i?4 注： 因子分析與回歸分析不同，因子分析中的因子是一個(gè)比較抽象的概念，而回歸因子有非常明確的實(shí)際意義； 主成分分析分析與因子分析也有不同，主成分分析僅僅是變量變換，而因子分析需要構(gòu)造因子模型。 主成分分析 :原始變量的線性組合表示新的綜合變量，即主成分； 因子分析：潛在的假想變量和隨機(jī)影響變量的線性組合表示原始變量。 5 167。 2 因子分析模型 一 、 數(shù)學(xué)模型 設(shè) 個(gè)變量 ， 如果表示為 iX),2,1( pi ?? p11i i i im m iX a F a F??? ? ? ? ?)( pm ?1 1 11 12 1 112 2 21 22 2 2212mmp p p p pm pmX FX FX F? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?或?? ? ?X μ AF或6 稱為 公共因子 ， 是不可觀測(cè)的變量 ，他們的系數(shù)稱為因子載荷 。 是特殊因子 ， 是不能被前 m個(gè)公共因子包含的部分 。 并且滿足： mFFF , 21 ?i?IFD ??????????????111)(?c o v ( , ) 0 ,F ? ??,F 即不相關(guān)； mFFF , 21 ?即 互不相關(guān)，方差為 1。 7 ?????????????22221)(pD?????即互不相關(guān) ， 方差不一定相等 ， 。 ),0(~ 2ii N ??8 用矩陣的表達(dá)方式 X μ = A F + ε()E ?F0()E ?ε 0 ()V ar ?FI2 2 212( ) ( , , , )pVar di ag ? ? ??ε1 1 1 2 12 1 2 2 212( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )c ov ( ) ( )( ) ( ) ( )ppp p p pE F E F E FE F E F E FEE F E F E F? ? ?? ? ?? ? ??????? ? ?????F, ε F ε 09 二、因子分析模型的性質(zhì) 原始變量 X的協(xié)方差矩陣的分解 X μ = A F + ε( ) ( ) ( )V ar V ar V ar? X μ = A F A + ε?xΣ = A A + DA 是 因 子 模 型 的 系 數(shù)2 2 212( ) ( , , , )pVar di ag ? ? ???ε D D的主對(duì)角線上的元素值越小，則公共因子共享的成 分越多。 10 模型不受計(jì)量單位的影響 將原始變量 X做變換 X*=CX,這里 C＝ diag(c1,c2,…,c n),ci0。 )C ( X μ ) = C ( A F + ε?C X C μ + C A F + C ε* ?XC μ + C A F + C ε* * * * *?X μ + A F + ε* ?FF11 *()E ?F0*()E ?ε 0*()V ar ?FI* 2 2 212( ) ( , , , )pVar di ag ? ? ??ε* * * *c o v ( ) ( )E ???F, ε F ε 012 因子載荷不是惟一的 設(shè) T為一個(gè) p p的正交矩陣，令 A*=AT，F(xiàn)*=T’F，則模型可以表示為 * * *?X μ + A F + ε()E ? ?T F 0()E ?ε 0*( ) ( ) ( )V a r V a r V a r??? ? ?F T F T F T I2 2 212( ) ( , , , )pVar di ag ? ? ??ε**c ov ( ) ( )E ???F, ε F ε 0且滿足條件因子模型的條件 13 三 、 因子載荷矩陣中的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)特征 因子載荷 aij的統(tǒng)計(jì)意義 因子載荷 是第 i個(gè)變量與第 j個(gè)公共因子的相關(guān)系數(shù) ija模型為 imimii FaFaX ????? ?11 在上式的左右兩邊乘以 jF ,再求數(shù)學(xué)期望 )()()()()( 11 jijmimjjijjiji FEFFEaFFEFFEaFXE ?? ?????? ?? 根據(jù)公共因子的模型性質(zhì) ， 有 ijFx ji ?? ? （ 載荷矩陣中第 i行 ， 第 j列的元素 ） 反映了第 i個(gè)變量與第 j個(gè)公共因子的相關(guān)重要性 。 絕對(duì)值越大 ， 相關(guān)的密切程度越高 。 14 變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義 定義： 變量 的共同度是因子載荷矩陣的第 i行的元素的平方和 。 記為 iX統(tǒng)計(jì)意義 ： imimii FaFaX ????? ?11兩邊求方差 )()()()( 2112 imimii VarFVaraFVaraXVar ????? ????? mj iija1221 ? 所有的公共因子和特殊因子對(duì)變量 的貢獻(xiàn)為 1。 如果 非常靠近 1， 非常小 ， 則因子分析的效果好 ， 從原變量空間到公共因子空間的轉(zhuǎn)化性質(zhì)好 。 iX ??mj ija122i?。??? mj iji ah 1 2215 公共因子 方差貢獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)意義 jF因子載荷矩陣中各列元素的平方和 稱為所有的 對(duì) 的方差貢獻(xiàn)和 。 衡量 的相對(duì)重要性 。 ??? pi ijj aS 1 2),1( mj ?? jFiXjF16 167。 3 因子載荷矩陣的估計(jì)方法 設(shè)隨機(jī)向量 的均值為 ?，協(xié)方差為 ?, 為 ?的特征根， 為對(duì)應(yīng)的 標(biāo)準(zhǔn)化特征向量，則 ? ??? pxxx , 21 ?x021 ???? p??? ? p21 u,u,u ?12p????????? ?????????Σ = U U A A + D（一）主成分分析法 17 上式給出的 ?表達(dá)式是精確的，然而，它實(shí)際上是毫無價(jià)值的，因?yàn)槲覀兊哪康氖菍で笥蒙贁?shù)幾個(gè)公共因子解釋，故略去后面的 pm項(xiàng)的貢獻(xiàn)，有 2 11 11mmm m m m p?? ?? ? ??? ???? ? ?? ? ? ? ??1 1 2 2 ppu u u u u u u u u u? ?????????????????p2uuuuuuppp????????211221111 00p??????? ??????????? ?? ???????????21 2 ppuuu u uu18 12? ? ? ?mmm? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 2 2Σ AA + D u u u u u u D1121 1 2 2? ?? ?mmpmpmmp??? ? ?????? ???????? ?? ? ? ????????? ???2uuu u u D A A Du 上式有一個(gè)假定，模型中的特殊因子是不重要的，因而