【正文】 A題:公司用人最優(yōu)化方案（第八組 辜賢杰 馬啟平 李寧）（指導(dǎo)老師 張勝祥）摘要：本文首先對(duì)題目中一些較模糊的概念進(jìn)行了符合實(shí)際的假設(shè)，然后利用線形規(guī)劃的原理對(duì)公司的用人方案進(jìn)行最優(yōu)化處理，包括確定（1）招工（2）人員再培訓(xùn)（3）解雇和超員雇用（4）設(shè)半日工的方案，分別以解雇人數(shù)最少和付出的費(fèi)用最少為目標(biāo)建立各自的目標(biāo)函數(shù)和其約束條件，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)軟件lingo對(duì)所建立的模型進(jìn)行計(jì)算，得出最優(yōu)解，從而確定公司的用人方案，并算出節(jié)省費(fèi)用，包括每年每類崗位所節(jié)省的費(fèi)用。最后本文利用此軟件對(duì)模型求解，得出了目標(biāo)1最少解雇人數(shù)為870人，最少費(fèi)用為704000元，比目標(biāo)1下的方案的費(fèi)用減少了755400元 。并且對(duì)模型的穩(wěn)定性和靈敏度進(jìn)行了檢驗(yàn)。一、 問題的重述：工人可分為不熟練工人、半熟練工人、熟練工人，其中各熟練級(jí)別之間可以通過降級(jí)使用和再培訓(xùn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，某公司由于裝備了新機(jī)器，對(duì)此三種工人的需求有所變化，具體內(nèi)容如題目表1： 分類 不熟練 半熟練 熟練 現(xiàn)有人數(shù)2000 1500 1000第一年需求 1000 14001000第二年需求 500 2000 1500第三年需求 0 2500 2000表1為此，公司希望在以下四個(gè)方面的用人方案上得到確定：招工、人員再培訓(xùn)、解雇和超員雇用、設(shè)半日工的方案。其中，由于各種原因不滿一年和一年后自動(dòng)離職的人員情況如表2： 分類不熟練半熟練熟練工作不滿一年 25% 20% 10% 工作一年以上10% 5% 5% 表2同時(shí)公司可以招收一定數(shù)量的半日工。從而建立模型以達(dá)到以下兩個(gè)目標(biāo)：（1） 解雇人數(shù)最少的情況下，應(yīng)該怎樣運(yùn)轉(zhuǎn)？（2） 費(fèi)用的最少消耗量以及節(jié)省費(fèi)用，并導(dǎo)出每年每類崗位所節(jié)省的費(fèi)用。二、 問題的分析：本題屬于一定約束條件下的的最優(yōu)化問題，初步分析題意，我們按照題目要求擬建立解雇人數(shù)和總費(fèi)用兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的線形規(guī)劃模型：解雇人數(shù)包括三年三種熟練級(jí)別的解雇人數(shù)與半日工的解雇人數(shù)?？傎M(fèi)用包括三種級(jí)別工人的工資、解雇費(fèi)、半日工的支付費(fèi)用、超員雇用的支付費(fèi)用四項(xiàng)總和。根據(jù)題目的要求列出各約束條件，利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行整數(shù)的最優(yōu)化運(yùn)算。三、 模型的假設(shè)根據(jù)題目所給的各種條件和生產(chǎn)中的實(shí)際情況，我們可以作出以下假設(shè)：（1） 假定培訓(xùn)的時(shí)間是長期的，為一年。即在第一年初培訓(xùn)，而在第一年末（或第二年初）使用。（2） 假定在將工人降級(jí)使用時(shí)，由熟練工降為半熟練工、由半熟練工降為不熟練工與越級(jí)的熟練工降為不熟練工處于同等地位。（3） 對(duì)待半日工的使用假定如下：在使用時(shí)按勞力記入，即算作半個(gè)普通全日工；對(duì)半日工存在著解雇，解雇人數(shù)算作一個(gè)人。另外，半日工是另外聘用，與原有工人無關(guān)。（4） 根據(jù)實(shí)際情況，我們對(duì)題目中“培訓(xùn)半熟練工成為熟練工，培訓(xùn)一名開支500元；培訓(xùn)人數(shù)不能超過所訓(xùn)崗位當(dāng)時(shí)熟練工人數(shù)的1/4”理解是培訓(xùn)人數(shù)不超過當(dāng)時(shí)崗位所需求人數(shù)與該崗位超員雇用人數(shù)總和的1/4。（5） 假定工人脫產(chǎn)培訓(xùn)。（6） 考慮到工廠的長遠(yuǎn)發(fā)展，第三年我們依然假設(shè)還要對(duì)工人進(jìn)行培訓(xùn)。（7） 所有的用人方案的實(shí)施都發(fā)生在年初。（8） 假設(shè)半日工的收入包括普通全日工人的年薪的1/2和公司的每年的支出費(fèi)用。（9） 該公司各崗位工人的年薪固定不變。四、 符號(hào)的定義及說明： xij:第i年雇傭工人數(shù)，表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工； aij: 第i年招收的半日工人數(shù)，表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工； sij: 第i年超員雇用工人數(shù)，表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工； fij: 第i年解雇的工人數(shù)，表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工； Bij: 第i年需求的工人數(shù)，表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工； pij: 第i年培訓(xùn)的工人數(shù)，j表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工； faij: 第i年解雇的半日工人數(shù)，表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工； duij：第i年降級(jí)的工人數(shù)， 表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工；gi；表示各熟練級(jí)別工人的年薪，表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工；cij: 自然減員率，表示工作不滿一年人員的自然減員率，表示工作一年以上人員，的自然減員率；表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工；nij：表示第i年共有j等級(jí)工人數(shù)，如表示現(xiàn)有不熟練的工人數(shù)（）表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工； ：在解雇人數(shù)最少的情況下，第i年花費(fèi)在某崗位上的費(fèi)用，表示不熟練工崗位，表示半熟練工崗位，表示熟練工崗位； ：在費(fèi)用最少的情況下，第i年花費(fèi)在某崗位上的費(fèi)用，表示不熟練工崗位，表示半熟練工崗位，表示熟練工崗位； ：在費(fèi)用最少的情況下第i年花費(fèi)在某崗位上的費(fèi)用比起在解雇人數(shù)最少的情況下第i年花費(fèi)在某崗位上的費(fèi)用的差值，j表示不熟練工崗位，表示半熟練工崗位，表示熟練工崗位；Z：表示總費(fèi)用Y：表示解雇的總?cè)藬?shù)五、 模型的建立與求解：我們對(duì)問題進(jìn)行了分析后，作出了相應(yīng)的假設(shè)和符號(hào)說明，并且根據(jù)模型的要求建立了多個(gè)約束條件方程與目標(biāo)函數(shù)。 （一）、對(duì)于目標(biāo)1，建立以下的目標(biāo)函數(shù)： 按照題目所給的條件，根據(jù)實(shí)際情況，分析公司第一年對(duì)不熟練工的用人計(jì)劃如下：公司現(xiàn)有不熟練工人為n01, 其減員率為c21,該年招工x11，其減員率為c11，培訓(xùn)人員為p11，將工人降級(jí)到不熟練級(jí)使用的人員為du11和du12，解雇全日工人員為f11，雇傭半日工為a11，解雇半日工為fa11，超雇人員為s11，而在公司對(duì)不熟練工的需求為B11，由此，得到下面的約束： 依次推理我們得到以下的約束表達(dá)式：其中 考慮到對(duì)半日工的解雇不能超過已有的半日工的人數(shù)，如對(duì)第1年的不熟練半日工的解雇不能超過第一年工作的不熟練半日工人數(shù)和今年招聘的不熟練半日工人數(shù)。為此得到以下的約束條件：同時(shí)，根據(jù)題目所給的要求，得到以下的約束條件：為此，得到模型的目標(biāo)函數(shù)如下 根據(jù)上面的關(guān)系式，在計(jì)算機(jī)上利用軟件LINGO對(duì)上面的模型進(jìn)行求解，得到問題中目標(biāo)1的最優(yōu)解為 其中, ， 由上述的答案，可以看到被解雇的工人都是不熟練工人（第一年解雇不熟練工人450人，第二年解雇不熟練工人185人），這符合題目所給的情況—對(duì)不熟練的工人的需求相對(duì)減少，證明模型的合理性；同時(shí)存在解雇工人，這是由于該公司在第一年，第二年的貿(mào)易量相下降，減少了對(duì)各類工人的需求量。所雇傭的工人都是熟練工人和半熟練工人，這是因?yàn)樵摴緦?duì)熟練和半熟練工人的需求相對(duì)增加。由于半日工是另外招聘的，因此將占用各種工種的崗位，這將使得被解雇的員工增多，因此，在最優(yōu)解中只有在需求增長比較大的熟練工才有雇傭半日工。由于所雇傭的半日工一直在使用，所以解雇半日工為零。在降級(jí)方法使用上，只有在第三年的時(shí)候，才有把比較多的熟練工降為半熟練工使用，這是因?yàn)樵诘谌甑膯T工需求中，半熟練工的需求是最大。在超員雇傭上，熟練工和半熟練工不存在超員雇傭的情況，這是因?yàn)槭炀毠ず桶胧炀毠さ男枨笠恢痹谠鲩L，而不熟練工則是三年都把超員雇傭的名額用滿，這是因?yàn)椴皇炀毠さ男枨笤诓粩嗟南陆?，到了第三年更是變?yōu)榱恪Ｔ谌藛T培訓(xùn)上，公司應(yīng)該在三年的時(shí)間一直進(jìn)行把不熟練工培訓(xùn)成半熟練工的工作，以求達(dá)到減少解雇不熟練工，同時(shí)也要進(jìn)行把半熟練工培訓(xùn)成熟練工的工作，以求滿足對(duì)熟練工的需求。 綜上所述，該公司在未來三年的員工雇傭計(jì)劃為： 在第一年，解雇不熟練工450人；脫崗培訓(xùn)不熟練工200人，半熟練工人350人；超員雇傭150名不熟練工，多雇傭半熟練工405人，熟練工30人，半日熟練工50人，熟練工降為半熟練工2人； 在第二年，解雇不熟練工185人；脫崗培訓(xùn)不熟練工200人，半熟練工人100人；超員雇傭150名不熟練工，多雇傭半熟練工590人，熟練工200人，半熟練半日工1人，熟練半日工50人，熟練工降為半熟練工5人； 在第三年，解雇不熟練工235人；脫崗培訓(xùn)不熟練工200人，半熟練工人170人；超員雇傭150名不熟練工，多雇傭半熟練工800人，熟練工500人，熟練半日工50人。 根據(jù)所得數(shù)據(jù)，我們描繪出了其中變化比較大的一些數(shù)據(jù)的年變化曲線圖。具體如下。 圖1 圖2 圖3圖4其中，圖1表示招聘半熟練工和熟練工的年變化情況，具體如圖所示。圖2表示解雇不熟練工人的年變化曲線圖。圖3表示熟練工降為不熟練工的年變化曲線圖。圖4表示半熟練工培訓(xùn)人數(shù)年變化曲線圖。根據(jù)對(duì)題意所得數(shù)據(jù)的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)年變化曲線圖是和實(shí)際比較吻合的。由此所得的模型和實(shí)際還是比較相符的。在此方案中，根據(jù)題目的條件，得到該方案的總費(fèi)用為 解得 Z=1459400 （二）、對(duì)于目標(biāo)2，因?yàn)榘肴展さ氖杖氚ㄆ胀ㄈ展と说哪晷降?/2和公司的每年的支出費(fèi)用，所以該公司可用以下函數(shù)表示： 顯然，為一不變值的常數(shù)，因此目標(biāo)函數(shù)可化簡為 同樣，用LINGO解得以下最優(yōu)解 其中, ， 比較目標(biāo)1下方案的費(fèi)用和目標(biāo)2下方案的費(fèi)用在目標(biāo)1中，各個(gè)崗位的花費(fèi)具體如下第一年，解雇不熟練工的花費(fèi)為90000，超雇不熟練工的花費(fèi)為225000，培訓(xùn)不熟練工的花費(fèi)為80000，培訓(xùn)半熟練工的花費(fèi)為175000，聘請(qǐng)熟練半日工的花費(fèi)為20000，其他的花費(fèi)為0。第二年，解雇不熟練工的花費(fèi)為37000，培訓(xùn)不熟練工的花費(fèi)為80000，培訓(xùn)半熟練工的花費(fèi)為50000，超雇不熟練工的花費(fèi)為225000，聘請(qǐng)半熟練半日工的花費(fèi)為400，聘請(qǐng)熟練半日工的花費(fèi)為20000，其他的花費(fèi)為0。第三年，解雇不熟練工的花費(fèi)為47000，培訓(xùn)不熟練工的花費(fèi)為80000，培訓(xùn)半熟練工的花費(fèi)為85000，聘請(qǐng)半日熟練工的花費(fèi)為20000，超雇不熟練工花費(fèi)225000，其他花費(fèi)為0。目標(biāo)1的三年花費(fèi)一共為1459400。在目標(biāo)2中，各個(gè)崗位的花費(fèi)具體如下，第一年，培訓(xùn)不熟練工的花費(fèi)為80000，培訓(xùn)半熟練工的花費(fèi)為100000，解雇不熟練工的花費(fèi)為120000，其他的花費(fèi)為0。第二年，培訓(xùn)不熟練工的花費(fèi)為80000，培訓(xùn)半熟練工的花費(fèi)為50000，解雇不熟練工的花費(fèi)為40000，招聘半熟練半日工的花費(fèi)為20000，其他的花費(fèi)為0。第三年，解雇不熟練工的花費(fèi)為90000，超雇半熟練工的花費(fèi)為84000，招聘半熟練半日工的花費(fèi)為20000，招聘熟練半日工的花費(fèi)為20000，其他的花費(fèi)為0。目標(biāo)2的三