反比例函數(shù)中的面積問題專題課程教案(已修改)
2025-04-28 22:32 本頁面
【正文】 反比例函數(shù)中的面積問題適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中二年級適用區(qū)域全國課時時長（分鐘）60分鐘知識點1. 函數(shù)的相交問題，主要探究函數(shù)相交的交點個數(shù)及如何計算交點坐標(biāo)，并進(jìn)一步探究取何值時，一次函數(shù)與反比例函數(shù)值的大小比較；2. 相交時所圍成的三角形的面積問題。教學(xué)目標(biāo)1．熟練應(yīng)用函數(shù)圖像與性質(zhì)知識；2．靈活掌握反比例函數(shù)中面積問題的幾種題型；3．熟練一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用。教學(xué)重點反比例函數(shù)中面積問題涉及題型的掌握。教學(xué)難點反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合出現(xiàn)的面積問題所涉及的解題方法的歸納。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)由于反比例函數(shù)解析式及圖象的特殊性，很多中考試題都將反比例函數(shù)與面積結(jié)合起來進(jìn)行考察。這種考察方式既能考查函數(shù)、反比例函數(shù)本身的基礎(chǔ)知識內(nèi)容，又能充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查的題型廣泛，考查方法靈活，可以較好地將知識與能力融合在一起。這類反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題以及相交后求圍成三角形的面積的題型難度很大，并且屬于學(xué)生在計算中的難點問題，歸納起來有兩個方面：函數(shù)的相交問題，主要探究函數(shù)相交的交點個數(shù)及如何計算交點坐標(biāo)，并進(jìn)一步探究取何值時，一次函數(shù)與反比例函數(shù)值的大小比較；相交時所圍成的三角形的面積問題。現(xiàn)以近年中考試題為例加以分析，希望能對同學(xué)自主學(xué)習(xí)有所幫助。二、知識講解1．反比例函數(shù)的定義：一般地，形如y＝（）（k為常數(shù)，k____0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)．2．反比例函數(shù)的性質(zhì)：反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象是___ ___．當(dāng)k0時，兩分支分別位于第__ ___象限內(nèi)，且在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而_______；當(dāng)k0時，兩分支分別位于第_______象限內(nèi)，且在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而_______．3．反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，其對稱中心為_______；反比例函數(shù)還是_______圖形，它有兩條_______，分別是直線__ _____．4．在雙曲線y＝上任取一點P向兩坐標(biāo)軸作垂線，與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積等于_______．5．因在反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)＝（k≠0）中，只有一個待定系數(shù)k，確定了k的值，也就確定了反比例函數(shù)的關(guān)系式，因而一般只要給出一組x、y的值或圖象上任意一點的坐標(biāo)，然后代入y＝中即可求出_______的值，進(jìn)而確定出反比例函數(shù)的關(guān)系式．利用反比例函數(shù)中|k|的幾何意義求解與面積有關(guān)的問題。設(shè)P為雙曲線上任意一點，過點P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足分別為M、N，則兩垂線段與坐標(biāo)軸所圍成的的矩形PMON的面積為S=|PM||PN|=|y||x|=|xy|從而得：結(jié)論1：過雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積S為定值|k|。對于下列三個圖形中的情形，利用三角形面積的計算方法和圖形的對稱性以及上述結(jié)論，可得出對應(yīng)的面積的結(jié)論為：結(jié)論2：在直角三角形ABO中，面積S=。結(jié)論3：在直角三角形ACB中，面積為S=2|k|。結(jié)論4：在三角形AMB中，面積為S=|k|。 考點/易錯點1反比例函數(shù)與一次函數(shù)的結(jié)合:一次函數(shù)圖像過不過原點，注意求面積的方法有些區(qū)別?？键c/易錯點2反比例函數(shù)圖像對稱性（軸對稱與中心對稱）的應(yīng)用，能相應(yīng)的得到一些點的坐標(biāo)的結(jié)論時要注意坐標(biāo)符號的變化。三、例題精析題型歸類：題型一：已知面積，求反比例函數(shù)的解析式（或比例系數(shù)k）【例題1】【題干】如圖，直線OA與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于A點，AB⊥x軸于點B，△OAB的面積為2，則k＝ ?。敬鸢浮縦=4【解析】由圖象知,k0,由結(jié)論及已知條件得， ∴ k=4【例題2】【題干】如圖，已知雙曲線（）經(jīng)過矩形OABC的邊AB，BC的中點F、E，且四邊形OEBF的面積為2，則 ．【答案】k=2【解析】連結(jié)OB，∵E、F分別為AB、BC的中點∴ 而 ，由四邊形OEBF的面積為2得，解得 k=2。評注：第①小題中由圖形所在象限可確定k0，應(yīng)用結(jié)論可直接求k值。第②小題首先應(yīng)用三角形面積的計算方法分析得出四個三角形面積相等，列出含k的方程求k值。題型二：已知反比例函數(shù)解析式，求圖形的面積【例題3】【題干】在反比例函數(shù)的圖象中，陰影部分的面積不等于4的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為過原點的直線與雙曲線交點關(guān)于原點對稱，故B、C、D的面積易求。對于A：S=4，對于B：陰影中所含的三個小直角三角形面積相等，故S=；對于C：S=4，對于D：S=4 故選（B）題型三：利用數(shù)形結(jié)合思想求點的坐標(biāo)，注意分類討論【例題4】【題干】已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠o)和反比例函
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