【正文】 第七章 彎曲變形 基本要求： 1. 用積分方法求梁的變形時的邊界條件與連續(xù)條件； 2. 用疊加法求梁的變形；梁的剛度計算； 3. 用變形比較法求解簡單超靜定梁 。 難點： 變形比較法求解簡單超靜定梁 。 例 ： 求圖示梁的約束反力，并繪 內(nèi)力 圖。 解： 一、解除多約束（ B 處 支座）以多余約束 RB 來代替， 基本靜定梁的受力形式見圖 a 所示 。 二、建立變形協(xié)調(diào)方程，求出 多余約束反力。 先將圖 a受力 形式分解成單獨荷載下的受力 形式（圖 b、 c）。 即： 0B P B Ryy??① 0,By ?變形協(xié)調(diào)方程為 ： 其中： 32332( ) ( )22.3 2 25()48()3B P C CBBRlyyllPPlE I E IPlEIRlyEI???? ? ?? ? ???0B P B Ryy??① 代入①中得： 335 04 8 3 BRlPlEI EI? ? ?解出： 516BRP? 三、由靜力平衡 方程解出其余的約束反力 0,11160 . . 0,2316ABAA A BAY R R PRPlM M R l PM P l? ? ???? ? ? ???，四、繪內(nèi)力圖 P1611P165Pl165Pl163??516BRP?解： 一、 CD桿為剛性桿時的內(nèi)力 先將結(jié)構(gòu)分解成圖 示 形式。此時 CD 桿為剛性，變形為零。 AC梁在 C處的撓度為： —— ① 4383C Cq CNq a N ay y yEI EI? ? ? ? ?DB梁在 D處的撓度為 33 ( 2 )DNayEI?? —— ② 變形協(xié)調(diào)條件為： CDyy?即 4 3 38 3 6q a N a N aEI EI EI? ? ? ?解出： 14N qa?2 ,IAa? 例 ： 圖示結(jié)構(gòu)， ① CD桿如為剛性桿， 求 CD桿內(nèi)力。 ②如 CD桿剛度為 EA， 求 CD桿的內(nèi)力。 分解圖 建立變形協(xié)調(diào)方程時，還需考慮 CD 桿的變形。此時 CD桿變形為： 23N l N al E A E A? ? ? ? ? —— ③ 此時 C、 D處的撓度表達式仍為式①、② —— ① 4383Cq a N ayEI EI? ? ?33 ( 2 )DNayEI?? —— ② l? C處位移和 D處位移之差即為 ，變形協(xié)調(diào)方程為： CDy y l? ? ?即 34 3 3 23()8 3 6 Naqa N a N aEI EI EI EI? ? ? ? ? ?解得： 328N qa?二、 CD桿剛度為 EA時的內(nèi)力 分解圖 例 試作如圖所示梁的剪力圖和 彎矩圖，設(shè) EA為常數(shù) 。 解 （ 1） 這是求解一次超靜定問題 解除中間鉸的約束 ， 則應有約束力 FRB如圖所示 。 連續(xù)條件： 右左 BB yy ? yB左 是懸臂梁 AB上 B截面的撓度 ， 其值為 （ a） EIaFy RBB 33??左 （ b） ? ? ? ?aaEIaFEIaaFy RBB ????? 23162 22右aEIaF16 )2( 2? yB右是外伸梁 BCD上 B截面的撓度。它 有兩部分組成，第一部分是有 F作用在 B 截面上引起的撓度，其值為 ， ? ?aaEIaF RB ?23 2 第二部分是有 FRB作用在 B截面上引起的 撓度，其值為 。 ma 1? ma 1? ma 1? ma 1?DCBAkNF 4?DCBAkNF 4?RDRCRBRA FFFFRBA FM? ?aaEI aFEI aaFEI aF RBRB ????? 2316 )2(3 223解得 1643163 ???? FFRB由懸臂梁 AB 的平衡條件可得 ， FRA=， mA= 由外伸梁 BCD 的平衡條件可得 FRC=， FRD= 將 （ a） 式和 （ b） 式代入到連 續(xù)條件 ， 則 （ 2）繪 FS 圖， M 圖。 （ a） EIaFy RBB 33??左 （ b） ? ? ? ?aaEIaFEIaaFy RBB ????? 23162 22右mkN ?mkN ?mkN ?6 2 ma 1? ma 1? ma 1? ma 1?DCBAkNF 4?DCBAkNF 4?RDRCRBRA FFFFRBA FM 第八章 平面應力狀態(tài)分析 基本要求： 1. 用數(shù)解法求解平面應力狀態(tài)； 2. 用圖解法求解平面應力狀態(tài)； 3. 主應力及主平面；極值切應力； 4. 廣義虎克定律的運用 。 難點： 主應力及主平面 、 極值切應力方位的確定； 廣義虎克定律的運用 。 MPaMPa2020M P a30x 例 已知平面應力狀態(tài)如圖 a所示 。 試用數(shù)解法求： （ 1） ab面上的應力 ， 并表示于圖中； （ 2） 主應力 ， 并繪主應力單元體； （ 3） 最大切應力及其所在平面的單元體 。 解 （ 1） 求 ab面上的應力 由圖可知 ， ab面的外法線 n和 x軸的夾角 α=300， 根據(jù)公式可得 ???????? 2s i n2co s2230 xyxyx ??????M P 3)20(212 30202 3020 ????????????????? 2co s2s i n230 xyx ????M P )20(2 32 3020 ?????????所得 σ30,τ30均表示于圖 a中 。 030030? 030? （ 2） 主應力及主應力單元體 由主應力計算式得主應力的大小為 22m i nm a x22 xyxyx ??????? ????????? ????M P a)325()20(23020230)20( 22?????????? ?????? 應當指出的是 ， 由于此單元體的前 、 后兩平面是零應力平面 ， 主應力為零 ， 因此 ， 它也是主平面 。 按主應力排列次序 ， 該點的三個主應力為 M P aM P a 27,0,37 321 ???? ???MPaMPa2020M P a30x030030? 030? 由公式計算主應力方位 )20( )20(222t a n 0 ???? ???????yxx???? 000 , ???? ?? ?MPaMPa2020M P a30x030030? 030?主應力單元體如圖所示。 由此可見，一個主平面的方位角為 α0= ，另一個主平面 與它相垂直，其方位角為α0+90= 。它們之中一個是 σ1 的作用面，另一個是 σ3 的作 用面。 至于哪一個是 σ1 的作用面，哪一個是 σ3 的作用面，可將 α0 的值代入 ab 面上的正應力式中進行計算，然后加以確定。 1?3?x （ 3） 最大切應力及其作用面 由最大切應力計算式可得最大切應力 M P axyx32)20(2302022222m i nm a x?????????? ????????????? ??? ?????最大切應力所在面的方位 )20(2 302022ta n 1 ??? ?????xyx????2α1= ，所以可得 α1 = ， α1+90= 最大切應力所在面如圖所示。 MPaMPa2020M P a30x030030? 030?1?3?xmax?min?1??1??例 ： 求 1）圖示單元體 α =300 斜截面上的應力 , 2）主應力、主切應力。 τ σ O .。 00 3030 EFOF ?? ??量出所求的物理量 .2.。0。11023211D P AD C AOAOA???????????408060 D’ DC1A2A02?解： 按比例畫此單元體對應的應力圓 0 20600 E F ),( 3030 ??0?1?3?P0?τ σ O 408060 D’ DC1A2A02?600 E F ),( 3030 ??0?1?3?P0?1?),( m a x11 ?? ?E),( m i n12 ?? ?E.。112m i n1m a xD P ECECE???????.。 00 3030 EFOF ?? ??量出所求的物理量 .2.。0。11023211D P AD C AOAOA???????????例 ：求圖示單元體的主應力和最大切應力。（ M P a） 解： 1) x面為 主平面之一 M P a500 ??2) 建立應力坐標系如圖，畫 y— z平面的應力圓及三向應力圓得 : x y z 30 50 40 ? ? ? ? o (M Pa) （ M Pa ） 10 D D/ C ? 2 275058321???????43m a x ??? ? 1 ? 3 max ? ?? ?o（ Mpa ）（ Mpa ）20AB例 ：求圖示單元體的主應力及主平面的位置。 (單位 :MPa) 4532532595150176。? 3 ? 1? 2C A B ? 1 ? 2 0。20。120 321 ??? ????300 ???量出所求的物理量 解： 按比例畫此單元體對應的應力圓 02?0?0321m i nm a x60120c o s120s i n2??????????? ??????????????? xxyyx ???4532532595150176。數(shù)解法： （分析思路） x y o xyyxyM P aM P a???????32545?x ??22m i nm a x22 xyyxyx ??????????????? ）（60176。 M P aM P a325956060????M P ax 95?? ?解： 確定單元體 (應力單位 :Mpa) ?x ??xyo??x?x?M P aM P a xy 325,45 ??? ??x?y?y?45 9532532545325?????,60 ??? .325,95 6060 M P aM P a ?? ?? ????? 120co s120s i n260 xyx ???? ???求 ?? 1 2 0c o s)325(1 2 0s i n245325 ???? x?求主應力、主平面 22m i nm a x )2(2 xyyxyx ?????? ?????M P a????2012034595 )325(22 0 ??????tg 00 30??4532532595150 176。A B ? 1 ? 2 0?例 ： 如圖所示拉桿，橫截面為圓形 D=2cm， E= 106 MPa，