【正文】 隨機(jī)性模型與模擬方法 ? 隨機(jī)變量 ? 蒙特卡羅方法 ? 隨機(jī)數(shù)的生成 ? 模擬 一、隨機(jī)變量 ? 何謂隨機(jī)變量？隨機(jī)變量是一個(gè)其值不可預(yù)測(cè)的變量。雖然一個(gè)隨機(jī)變量在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果不確定，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果是具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。正是隨機(jī)變量的這種規(guī)律性使我們可以利用它來(lái)建模。例如我們可以利用下述的數(shù)據(jù)： 得出一個(gè)模型。 時(shí)間 t（秒） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 變量 X 1 0 2 2 1 2 0 1 0 2 ? 是一個(gè)離散的隨機(jī)變量并取值于 0， 1和 2。我們不可能給出 與 的確定的關(guān)系式，但是可以通過(guò)數(shù) 的不同值出現(xiàn)次數(shù)來(lái)描述這隨機(jī)型 的規(guī)律列表如下： ? 這個(gè)表給出了隨機(jī)變量 的變化規(guī)律，頻率告訴某個(gè)特定的事件發(fā)生的頻繁程度。如果我們需要構(gòu)造一個(gè)含有隨機(jī)變量的模型，可以假設(shè)這個(gè)規(guī)律總是成立的，模型的假設(shè)可以基于這幾個(gè)數(shù)據(jù)之上。實(shí)際操作時(shí)可以把頻率分布當(dāng)作概率函數(shù)來(lái)處理，但應(yīng)注意概率是頻率的極限值，這兩者是有差異的。在處理一個(gè)簡(jiǎn)單的理論模型時(shí)，對(duì)概率函數(shù) X 0 1 2 頻數(shù) 3 3 4 頻率 tXXXX? 必須作出合適的選擇。例如，假設(shè)在上述問(wèn)題中的隨機(jī)變量取三個(gè)值時(shí)等于可能的，這樣其概率函數(shù)為 ? 這個(gè)例子說(shuō)明在處理隨機(jī)變量的模型時(shí)有以下兩種選擇： （ 1）使用一個(gè)理論模型。這在任何一本概率統(tǒng)計(jì)的書(shū)上都可以找到一些標(biāo)準(zhǔn)的理論模型如二項(xiàng)分布等。每一個(gè)都基于一定的假設(shè)之下成立的，所以在選用時(shí)要特別注意其假設(shè)條件。 （ 2）使用基于實(shí)際數(shù)據(jù)的頻率表，并不去套用不準(zhǔn)理論模型。 ? ?Px 0 1 2 X13 13 13? 使用前者的好處在于能精確地?cái)⑹鲎兞康母怕?，在處理?wèn)題時(shí)可以充分發(fā)揮數(shù)理統(tǒng)計(jì)的作用。但這一好處把所求模式制約在了處理簡(jiǎn)單情形。隨著復(fù)雜性的增加，數(shù)學(xué)就變的太難。使用后者的好處在于模型時(shí)基于觀測(cè)到的數(shù)據(jù)而不是基于假設(shè)之上。增加復(fù)雜性并不成為一大障礙，但我們不再能利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)而得求助于模擬以及模型的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。 ? 在建立隨機(jī)性模型時(shí)，首先要注意，將要處理的是離散還是連續(xù)的隨機(jī)變量。 離散隨機(jī)變量 離散隨機(jī)變量的理論模型是由概率函數(shù) 來(lái)刻畫(huà)的。這個(gè)式子說(shuō)明隨機(jī)變量 取值 時(shí)的概 率。對(duì)于離散型的隨機(jī)變量有下面三種重要的分布 ? ? ? ?p x P X x??X x? （ 0－ 1）分布 設(shè)隨機(jī)變量 只可能取 0、 1兩個(gè)值，它的分布規(guī)律是 則稱 服從（ 0－ 1）分布。對(duì)于一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個(gè)元素，即 ，我們總能在 上定義一個(gè)服從（ 0－ 1）分布的隨機(jī)變量 來(lái)描述這個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。例如，對(duì)新生兒的性別進(jìn)行登記，檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格等都可以用（ 0－ 1）分布的隨機(jī)變量來(lái)描述。 X? ? 1( 1 ) , 0 , 1 ( 0 1 )kkP X k p p k p?? ? ? ? ? ?? ?12,S e e? SX120()1eeX X eee???? ???當(dāng)當(dāng)? （ 2）二項(xiàng)分布 設(shè)實(shí)驗(yàn) 只有兩個(gè)可能的結(jié)果，將 獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行 次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為 重貝努利實(shí)驗(yàn)。它是一重和重要的數(shù)學(xué)模型，有著廣泛的應(yīng)用。若用 表示 重貝努利實(shí)驗(yàn)中事件 發(fā)生的次數(shù)， 是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從如下的二項(xiàng)分布 特別，當(dāng) 時(shí)二項(xiàng)分布就是（ 0－ 1）分布。 ? ? ? ? ( 1 ) , 0 , 1 , 2 , ... ,n k n kkP x k p p k n?? ? ? ?1n ?EE nX nA X? （ 3）泊松分布 設(shè)隨機(jī)變量 所有可能的取值為 而取各個(gè)值的概率為 其中， 是常數(shù)，則稱 服從參數(shù)為 的泊松分布?？梢宰C明當(dāng) 很小時(shí)，以 為參數(shù)的二項(xiàng)分布，當(dāng) 時(shí)趨于以 為參數(shù)的泊松分布，其中 0,1, 2,...,? ? ,!k eP x kk?? ??? 0 ,1 , 2 , ... ,kn?0? ?n??np? ?X?pX,np?連續(xù)的隨機(jī)變量 ? 理論模型的連續(xù)型隨機(jī)變量可以由概率密度函數(shù) 來(lái)描述，對(duì)所有的 存在 ，且 ，隨機(jī)變量落在區(qū)間 的概率可由 來(lái)給出，在連續(xù)型隨機(jī)變 量中下述兩種是重要的 。 ( ) ( )pdf f x x ( ) 0fx ?12( , ]xx21()xx f x dx?( ) 1f x d x??? ??? (1)均勻分布 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 具有概率密度 則稱 在區(qū)間（ a， b）上服從均勻分布。 在區(qū)間（ a， b）上服從均勻分布的隨機(jī)變量 ，具有下述意義的等可能性，即它落在區(qū)間（ a， b）中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的，或者說(shuō)它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)。 （ 2）正態(tài)分布 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度為 其中 為常數(shù)，則稱 服從參數(shù)為 的 1 ,()0,a x bfxba? ???? ???? 其 他X? ? 2221( ) ,2xf x e x??????? ? ? ? ? ? ?? ?,0? ? ? ? ,??XXXX 正態(tài)分布。 連續(xù)型隨機(jī)變量的值如同離散的一樣可以用頻率表給出，但不同的是離散的隨機(jī)變量每個(gè)頻率對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量的一個(gè)值，而對(duì)于隨機(jī)變量每一個(gè)頻率對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量的一個(gè)取值范圍。 二、蒙特卡羅方法 ? 蒙特卡羅方法是計(jì)算模擬的基礎(chǔ)，其名字來(lái)源于世界著名的賭城 —— 摩納哥的蒙特卡羅。其思想來(lái)源于著名的蒲豐投針問(wèn)題。 ? 1777年法國(guó)科學(xué)家蒲豐提出了下述著名問(wèn)題：平面上畫(huà)有等距離 的一些平行線，取一根長(zhǎng)度為 的針，隨機(jī)地向有平行線的平面上擲去，求針與平行線相交的概率。 ? 我們用幾何概型來(lái)解決這一問(wèn)題。設(shè) M為針落下后的中點(diǎn)， 表示中點(diǎn) M到最近一條平行線的距離， 表示針于平行線的交角，如圖 。那么基本時(shí)間區(qū)域 x?? ?0aa?? ?0ll?? ?, | 0 , 02axx? ? ???? ? ? ? ? ?????圖 a?sin2lx ??2a?ox?Mx? 它為平面上的一個(gè)矩形，其面積為