【正文】 最優(yōu)控制原理 目錄 (1/1) 目 錄 ? 最優(yōu)控制概述 ? 變分法 ? 變分法在最優(yōu)控制中的應(yīng)用 ? 極大值原理 ? 線性二次型最優(yōu)控制 ? 動(dòng)態(tài)規(guī)劃與離散系統(tǒng)最優(yōu)控制 ? Matlab問題 ? 本章小結(jié) 線性二次型最優(yōu)控制 (1/12) 線性二次型 最優(yōu)控制 ? 對(duì)于最優(yōu)控制問題 ,極大值原理 很好地描述了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制解的存在性。 ? 但對(duì)于復(fù)雜的控制問題 ,如 非線性系統(tǒng) 的控制問題、系統(tǒng)模型與性能指標(biāo)函數(shù)對(duì)控制量 u(t)不為連續(xù)可微的 控制問題 ,在 確定最優(yōu)控制規(guī)律時(shí) 存在不少困難 ,如 ? 非線性 常微分方程求解、 ? 最優(yōu)控制的 非平凡性 問題 , ? 而且?guī)?閉環(huán)控制 系統(tǒng)工程實(shí)現(xiàn)時(shí) 困難性 ,難以得到 統(tǒng)一、簡潔的最優(yōu)控制規(guī)律的表達(dá)式 。 線性二次型最優(yōu)控制 (2/12) ? 對(duì)于線性系統(tǒng) ,若取狀態(tài)變量 x(t)和控制變量 u(t)的 二次型函數(shù)的積分 作為性能指標(biāo)泛函 ,這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題稱為 線性系統(tǒng)的 最優(yōu)二次型性能指標(biāo)的 最優(yōu)控制問題 ,簡稱為 線性二次型問題 。 ? 該類問題的 優(yōu)點(diǎn) 是能得到最優(yōu)控制解 u*(t)的統(tǒng)一解析表達(dá)形式 和一個(gè) 簡單的且易于工程實(shí)現(xiàn)的 最優(yōu)狀態(tài)反饋律。 ? 因此 ,線性二次型問題 對(duì)于從事自動(dòng)控制研究的理論工作者和工程技術(shù)人員都具有很大吸引力。 ? 近 40年來 ,人們對(duì)各種最優(yōu)狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)以及設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了多方面的研究 ,并且有許多成功的應(yīng)用。 線性二次型最優(yōu)控制 (3/12) ? 線性二次型問題 是最優(yōu)控制理論中發(fā)展 最為成熟、最有系統(tǒng)性、應(yīng)用最為廣泛和深入的分支 。 ? 本節(jié)將陸續(xù)介紹線性二次型問題及其解的 存在性、唯一性 和 最優(yōu)控制解的 充分必要條件 。 ? 線性系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題可表述如下。 線性二次型最優(yōu)控制 (4/12) ? 線性二次型 最優(yōu)控制問題 設(shè) 線性 時(shí)變 系統(tǒng) 的狀態(tài)方程和輸出量測(cè)方程為 式中 , x(t)是 n維 狀態(tài) 向量 ,u(t)是 r維 輸入 控制向量 ,y(t)是 m維 實(shí)際的輸出 向量 。 A(t)、 B(t)和 C(t)分別是 n n、 n r和 m n維的分段連續(xù)的時(shí)變矩陣。 ? 假定系統(tǒng)的維數(shù)滿足 0m?r?n,且 u(t)不受約束 。 ? 用 z(t)表示預(yù)期的輸出 ,它為 m維向量 ,則定義 輸出誤差向量如下 e(t)=z(t)y(t) 00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )( ) ( ) ( )t A t t B t t tt C t t? ? ??x x u x xyx線性二次型最優(yōu)控制 (5/12) ? 控制的目標(biāo) J是 尋找 最優(yōu)控制函數(shù) u*(t),使下列 二次型性能指標(biāo)泛函 為最小 式中 , R(t), Q(t)和 F都為 對(duì)稱 矩陣 對(duì)稱 F為 m m維 非負(fù)定 的 常數(shù) 矩陣 。 ≥0 ? Q(t)為 m m維 時(shí)變 的 分段連續(xù) 的 非負(fù)定 矩陣 。 ≥0 ? R(t)為 r r維 時(shí)變 的 分段連續(xù) 的 正定 矩陣 ,且其 逆矩陣 存在并有界 。 ＞ 0 ? 末態(tài)時(shí)刻 tf是 固定 的 。 固定 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22ftff tJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u線性二次型最優(yōu)控制 (6/12) ? 下面對(duì)上述性能指標(biāo)泛函作細(xì)致的討論 : 1) 性能指標(biāo)泛函 J[u()]中的 第 1項(xiàng) e?(tf)Fe(tf),是為了突出 對(duì)末端目標(biāo) 的控制誤差的要求和限制 而引進(jìn)的 ,稱為 末端代價(jià)函數(shù) 。 ? 非負(fù)定 的常數(shù)矩陣 F為加權(quán)矩陣 ,其各行各列元素的值的不同 ,體現(xiàn)了 對(duì)誤差向量 e(t)在末態(tài)時(shí)刻 tf各分量的要求不同 、 重要性不同 。 該項(xiàng)函數(shù)值 總是為非負(fù)的 。 ? 若矩陣 F的第 i行第 i列元素值較大 ,代表二次項(xiàng)的重要性較大 ,對(duì)其精度要求較高 。 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22ftff tJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u線性二次型最優(yōu)控制 (7/12) 2) 性能指標(biāo)泛函 J[u()]中的 第 2項(xiàng) 被積函數(shù)中的 第 1項(xiàng)e?(t)Q(t)e(t),表示在 系統(tǒng)工作過程中 對(duì)控制誤差向量 e(t)的要求和限制 。 ? 由于時(shí)變的加權(quán)矩陣 Q(t)為 非負(fù)定 的 ,故該項(xiàng)函數(shù)值總是為非負(fù)的 。 ? 一般情況下 ,e(t)越大 ,該項(xiàng)函數(shù)值越大 ,其在整個(gè)性能指標(biāo)泛函所占的份量就越大 。 ? 因此 ,對(duì)性能指標(biāo)泛函求極小化體現(xiàn)了 對(duì)誤差向量 e(t)的大小的約束和限制 。 ? 在 e(t)為 標(biāo)量函數(shù) 時(shí) ,該項(xiàng)可取為 e2(t),于是該項(xiàng)與經(jīng)典控制理論中判別系統(tǒng)性能的誤差平方積分指標(biāo)一致 。 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22ftff tJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u線性二次型最優(yōu)控制 (8/12) ? 非負(fù)定 的時(shí)變矩陣 Q(t)為加權(quán)矩陣 ,其各行各列元素的值的不同 ,體現(xiàn)了 對(duì)相應(yīng)的誤差向量 e(t)的分量在各時(shí)刻的要求不同 、 重要性不同 。 ? 時(shí)變矩陣 Q(t)的不同選擇 ,對(duì)閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)的性能的影響較大 。 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22ftff tJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u線性二次型最優(yōu)控制 (9/12) 3) 性能指標(biāo)泛函 J[u()] 中 第 2 項(xiàng) 的被積函數(shù)的 第 2 項(xiàng)u?(t)R(t)u(t),表示在 系統(tǒng)工作過程中 對(duì)控制向量 u(t)的大小的要求和限制 。 ? 由于時(shí)變的加權(quán)矩陣 R(t)為 正定的 ,故該項(xiàng)函數(shù)值在u(t)為非零向量時(shí) 總是為正的 。 ? 而且 u(t)越大 ,該項(xiàng)函數(shù)值越大 ,其在整個(gè)性能指標(biāo)泛函所占的分量就越大 。 ? 因此 ,對(duì)性能指標(biāo)泛函求極小化體現(xiàn)了對(duì)控制向量 u(t)的大小的約束和限制 。 ? 如 u(t)為與電壓或電流成正比的 標(biāo)量函數(shù) 時(shí) ,該項(xiàng)為 u2(t),并與功率成正比 ,而 ?u2(t)dt則與在 [t0,tf]區(qū)間內(nèi) u(t)所做的功或所消耗的能量成正比 。 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22ftff tJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u線性二次型最優(yōu)控制 (10/12) ? 因此 ,該項(xiàng) Lu是用來衡量控制功率大小的代價(jià)函數(shù) 。 ? 正定的時(shí)變矩陣 R(t)亦為加權(quán)矩陣 ,其各行各列元素的值的不同 ,體現(xiàn)了 對(duì)相應(yīng)的控制向量 u(t)的分量在各時(shí)刻的要求不同 、 重要性不同 。 ? 時(shí)變矩陣 R(t)的不同選擇 ,對(duì)閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)的性能的影響較大 。 ? 綜上所述 ,可見 線性系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)泛函的最優(yōu)控制問題 的實(shí)質(zhì) 在于用不大的控制量 u,來保持較小的控制誤差 e,以達(dá)到所 耗費(fèi)的能量 和 控制誤差的綜合最優(yōu) 。 0τ τ τ11[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22ftff tJ t F t t Q t t t R t t t? ? ? ??u e e e e u u線性二次型最優(yōu)控制 (11/12) ? 現(xiàn)在討論上述 線性二次型問題的 幾種特殊情況 。 1) 若令 C(t)=I,z(t)=0,則 y(t)=x(t)=e(t)。 這時(shí) ,線性二次型問題的性能指標(biāo)泛函變?yōu)? ? 該問題轉(zhuǎn)化成 :用不大的控制能量 ,使?fàn)顟B(tài) x(t)保持在零值附近 ,稱為 狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題 。 2) 若令 z(t)=0,則 y(t)=e(t)。 這時(shí) ,線性二次型問題的性能指標(biāo)泛函變?yōu)? 該問題轉(zhuǎn)化成 :用不大的控制能量 ,使輸出值 y(t)保持在零值附近 ,稱為 輸出調(diào)節(jié)器問題 。 ? ???? fttff t