【正文】 第三章 總體均數(shù)的估計 與假設(shè)檢驗 第一節(jié) 均數(shù)的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤 了解總體特征的最好方法是對總體的每一個體進(jìn)行觀察、試驗，但這在醫(yī)學(xué)研究實際中往往不可行。 對 無限總體 不可能對所有個體逐一觀 察，對 有限總體 限于人力、財力、物力、時間或個體過多等原因，不可能也沒必要對所有個體逐一研究。 借助 抽樣研究 。 欲了解某地 2022年正常成年男性血清總膽固醇的平均水平，隨機(jī)抽取該地200名正常成年男性作為 樣本。 由于存在個體差異，抽得的 樣本均數(shù)不太可能恰好等于 總體均數(shù)。 由 個體變異和抽樣 造成的樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)的差異，稱為 抽樣誤差。 這些來自同一總體的若干樣本統(tǒng)計量間，也存在抽樣誤差。 在抽樣研究中， 抽樣誤差是不可避免的。 由于其產(chǎn)生的根本原因是 生物個體的變異性 ，故抽樣誤差分布具有一定的規(guī)律性。 例 31 某市 1999年 18歲男生身高服從? =、 ? =，從該 N(, )總體中隨機(jī)抽樣 （圖 31）。 每次 =10人 ，共有 樣本 g=100個 ，得到每個 樣本均數(shù) 及 標(biāo)準(zhǔn)差 。 將上述 100個樣本均數(shù)看成 新變量值，這 100個樣本均數(shù)構(gòu)成一新分布。 jnjXjSjnjSjX 樣本均數(shù)抽樣分布具有如下特點： ①各樣本均數(shù)未必等于總體均數(shù)； ②各樣本均數(shù)間存在差異（表 31）； ③樣本均數(shù)圍繞總體均數(shù) () 呈正態(tài)分布（圖 32）； ④樣本均數(shù)變異范圍較原變量變異范 圍大大縮小，這 100個樣本均數(shù)的 均數(shù)為 、標(biāo)準(zhǔn)差為 。 在 非正態(tài)分布總體 中可進(jìn)行類似抽樣。 可得到如下結(jié)論： 若 服從正態(tài)分布 則 服從正態(tài)分布 若 不服從正態(tài)分布 n大：則 近似服從正態(tài)分布 n小：則 為非正態(tài)分布 iXjXiXjXjX 的總體均數(shù)為 ?；而 的標(biāo)準(zhǔn)差比原個體值的標(biāo)準(zhǔn)差要小，為區(qū)別兩者， 的標(biāo)準(zhǔn)差用 表示。 樣本統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)差稱標(biāo)準(zhǔn)誤(standard error, SE)。 樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差稱均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤(standard error of mean, SEM)，反映樣本均數(shù)間離散程度。 jXX?jXjX X?jX 可證明均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤 在實際工作中 ?常未知 ， 用 S來估計。 均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤估計值 X n?? ?X SS n?X n?? ?XSSn?均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤大小與標(biāo)準(zhǔn)差大小成正比， 與樣本含量 n的平方根成反比 。 第二節(jié) t 分布 一、 t 分布的概念 若某一隨機(jī)變量 X服從總體均數(shù)為 ?、總體標(biāo)準(zhǔn)差為 ? 的正態(tài)分布 N(?,?2) X ???XX?2XX??)1,0(~ 2NXu????)1,0(~ 2NXuX????由于樣本均數(shù)服從總體均數(shù)為 ?、總體標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)分布 N(?, ) XX?2XX?2X?, 1XXXtnS Sn?????? ? ? ?18X Y Z? ? ?nm???X 1n???18X Y Z? ? ??=2 nm? ??n為計算某一統(tǒng)計量用到的 數(shù)據(jù)個數(shù) ，m為計算該統(tǒng)計量用到其它 獨立統(tǒng)計量的個數(shù)。 t分布最早 由英國統(tǒng)計學(xué)家 . Gosset 于 1908年 以 “ Student”筆名發(fā)表， 故又稱 Student39。s tdistribution。 它的發(fā)現(xiàn)， 開創(chuàng)了小樣本統(tǒng)計推斷的新紀(jì)元。 二、 t分布的圖形與特征 t分布是一簇曲線。 ?不同，曲線形狀不同（圖 33）。 ①單峰分布，以 0為中心，左右對稱② ?越小， t值越分散， t分布的峰部 越矮而尾部翹得越高； ③當(dāng) ?逼近 ?, 逼近 ,t分布逼近 u 分布。 XS ?XXS?t分布曲線下面積 (概率 P或 ?)與橫軸 t值間的關(guān)系 (附表 2)： 在 t界值表中 ， 一側(cè)尾部面積稱 單側(cè)概率 ， 兩側(cè)尾部面積之和稱 雙側(cè)概率 。 在相同自由度時 ， 值增大 ， P減小；在相同 值時 ， 雙尾 P為單尾 P的兩倍 。如雙尾 =單尾 =。 t??,2,t??,?tt / 2 ,10t0 .0 5 ,1 0t第三節(jié) 總體均數(shù)的估計 一、可信區(qū)間的概念 參數(shù)估計 是用樣本統(tǒng)計量推斷總體參數(shù) 。 有點估計和區(qū)間估計兩種 。 點估計 是用相應(yīng)樣本統(tǒng)計量直接作為其總體參數(shù)的估計值 。 如用 估計 ?、 S估計 ?等 。 其方法雖簡單 ， 但未考慮抽樣誤差的大小 。 XX區(qū)間估計 是按預(yù)先給定的概率(1??)所確定的包含未知總體參數(shù)的一個范圍 。 該范圍稱為參數(shù)的 可信區(qū)間 或置信區(qū)間 (confidence interval, CI)； 預(yù)先給定的概率 (1??)稱為 可信度或置信度 (confidence level)， 常取95%或 99%。 X 可信區(qū)間通常由兩個數(shù)值即 可信限 /置信限 (confidence limit, CL)構(gòu)成 。 其中較小的值稱可信下限(lower limit, L)， 較大的值稱可信上限 (upper limit, U)， 一般表示為L?U。 X二、總體均數(shù)可信區(qū)間的計算 1. 單一總體均數(shù)的可信區(qū)間 (1)?未知：按 t分布 。 (2)? 已知 或 ?未知但 n足夠大 (如 n60)時： 按 u分布 。 2. 兩總體均數(shù)之差的可信區(qū)間 (1)?未知： 雙側(cè) 1–α 可信區(qū)間 單側(cè) 1–α 可信區(qū)間 , XX t S??? ??, XX t S??? ??StSt XX XX ???? ,2,2 , ?? 例 32 在例 31中抽得第 15號樣本的 =(cm)， S=(cm)， 求其總體均數(shù)的 95%可信區(qū)間 。 (cm) 故該地 18歲男生身高均數(shù)的 95%可信區(qū)間為 (, )cm。 ?? 4 51110XS ?? 2,9 ?X3 .6 4 1 .1 5 1 110XS ?? 2,9 ? 0 .0 5 2 , 92 .2 6 2t ?( 1 6 6 . 9 5 2 . 2 6 2 1 . 1 5 1 1 , 1 6 6 . 9 5 2 . 2 6 2 1 . 1 5 1 1 )? ? ? ?(2)?已知或 ?未知但 n足夠大 : ?已知 : 雙側(cè) 1–α 可信區(qū)間 單側(cè) 1–α 可信區(qū) ?? ???? XX uu XX ,2,2 , ????????XXuuXX,???未知但 n足夠大 : 雙側(cè) 1–α 可信區(qū)間 單側(cè) 1–α 可信區(qū) SuSu XX XX ???? ,2,2 , ??SuSuXXXX????,?? 例 33 某地抽取正常成年人 200名 ， 測得其血清膽固醇均數(shù)為 mmol/L， 標(biāo)準(zhǔn)差為 ， 估計該地正常成年人血清膽固醇均數(shù) 95%可信區(qū)間 。 本例 =、 S=、 n=200、 =， =(, )(mmol?L) 該地正常成年人血清膽固醇均數(shù)雙側(cè) 95% 可信區(qū)間為 (, )mmol?L。 XXS XXS 0 . 0 5 / 2 1 . 9 6u ?? ?3 . 6 4 1 . 9 6 0 . 0 8 4 9 , 3 . 6 4 1 . 9 6 0 . 0 8 4 9? ? ? ? 2. 兩總體均數(shù)之差的可信區(qū)間 雙側(cè) 1–α 可信區(qū)間 單側(cè) 1–α 可信區(qū)間 1212 / 2 ,() XXX X t S?? ???12121 2 ,( ) ( ) XXX X t S???? ?? ? ? ?12121 2 ,( ) ( ) XXX X t S???? ?? ? ? ?三、可信區(qū)間的確切含義 從例 31及表 31可看出 ， 在算得的100個樣本均數(shù)的 95%可信區(qū)間中 ， 平均約有 95個可信區(qū)間包含了總體均數(shù)， 另外 5個 (第 20號 、 31號 、 54號 、 76號和 82號 )不包括 。 可信區(qū)間確切含義： 如果能夠進(jìn)行重復(fù)抽樣試驗 ， 平均有(1??)的可信區(qū)間包含了總體參數(shù) ，而不是總體參數(shù)落在該范圍的可能性為 (1??)。 在實際工作中 ， 只能根據(jù)一次試驗結(jié)果估計可信區(qū)間 ， 就認(rèn)為該區(qū)間包含了 ?， 該結(jié)論犯錯誤的概率 ≤ ? 。 可信區(qū)間估計的優(yōu)劣取決兩個方面： 一是可信度 1??，即區(qū)間包含 ?的理論概率大小，愈接近 1愈好。 二是區(qū)間的寬度，區(qū)間愈窄愈好。 當(dāng)樣本含量為定值時，上述兩者互相矛盾。若只顧提高可信度，則可信區(qū)間會變寬。 四、總體均數(shù)可信區(qū)間與參考值范圍的區(qū)別 , XX t S???XXu??? XX uS??X uS?? 計算 公式 ?未知： ?已知或 ?未知但n﹥ 60： 或 正態(tài)分布 偏態(tài)分布 PX~ P100?X , XX t S???XX u S??XXu ???X u S?? 含 義 按預(yù)先給定的概率 ，確定未知參數(shù) ? 的可能范圍 。 實際上一次抽樣算得的可信區(qū)間要么包含總體均數(shù) ，要么不包含 。 95%CI估計錯誤的概率 ≤ . “正常人 ”的解剖 ，生理 ， 生化某項指標(biāo)的波動范圍 。 總體均數(shù)的波動范圍 個體值的波動范圍 用 途 總體均數(shù)的區(qū)間估計 絕大多數(shù) ( 如95%) 觀察對象某項指標(biāo)的分布范圍 第四節(jié) t 檢驗和 u檢驗 由樣本信息推斷總體特征 ， 除 參數(shù)估計 外 ， 還會遇到這樣的問題： 某一樣本均數(shù)是否來自于已知均數(shù)總體 ？ 兩個不同樣本均數(shù)是否來自均數(shù)相同的總體等 ？ 要回答這類問題 ， 更多的是用統(tǒng)計推斷的另一方面 ?? 假設(shè)檢驗(hypothesis test)。 觀測到的樣本均數(shù)與總體均數(shù)間或兩樣本均數(shù)間差異的可能原因： 總體均數(shù)不同； 總體均數(shù)相同 ， 差別由抽樣造成 。 需要通過統(tǒng)計學(xué)假設(shè)檢驗來判斷 。 假設(shè)檢驗一般做法： ： 假設(shè)樣本對應(yīng)的總體參數(shù)與某已知總體參數(shù)相等 ， ： 根據(jù)統(tǒng)計量分布規(guī)律 ， P 值： 根據(jù)檢驗統(tǒng)計量大小 ， ： 根據(jù) P值判斷樣本信息是否支持原假設(shè) 。 蘊含獨特的邏輯和統(tǒng)計學(xué)思維方式 。 t 檢驗 (Student’s ttest) 當(dāng) n較小時 (如 n﹤ 60)， 要求樣本隨機(jī)地取自 正態(tài)總體 ， 兩小樣本均數(shù)比較要求所對應(yīng)兩總體方差相等 ， 即 方差齊性 。 U 檢驗 (Utest， 亦稱 Ztest)。 要求 n較大；或 n雖小但總體標(biāo)準(zhǔn)差已知 。 2212???2212???一、單樣本 t 檢驗 即 （ 代表未知 ?） 與 已知 ?0(理論值、 標(biāo)準(zhǔn)值或穩(wěn)定值 )比較 。 例 35 某醫(yī)生測量了 36名從事鉛作業(yè)男性工人的血紅蛋白含量 ， 算得其均數(shù)為 ， 標(biāo) 準(zhǔn) 差 為。 問從事鉛作業(yè)工人的血紅蛋白是否不同于正常成年男性平均值140g/L？ XX (1)建立檢驗假設(shè) ， 確定檢驗水準(zhǔn)