【正文】 NURBS曲線曲面 B樣條的缺點 ? 用于自由型曲線曲面的 B樣條曲線在表示和設(shè)計自由型曲線曲面形狀方面顯示了強大的威力 。 然而在表示與設(shè)計 由二次曲面與平面構(gòu)成的初等曲面 時卻遇到了麻煩 。 – B樣條曲線 (面 )包括其特例 B233。zier曲線 (面 )都只能 近似表示 除拋物線面外的 二次曲線弧 (面 )。 ? 近似表示將帶來處理上的麻煩 ， 使本來簡單的問題復(fù)雜化 ， 還會帶來原不存在的設(shè)計誤差問題 。 ? 解決這一問題的途經(jīng)顯然應(yīng)該是改造現(xiàn)有的 B樣條方法 ， – 保留 其 描述自由型形狀長處 ， – 擴充其統(tǒng)一表示二次曲線弧與二次曲面的能力 。 ? 人們所尋求的方法就是 有理 B樣條方法 。 – 形狀描述中更多地以 非均勻 類型出現(xiàn) ， 而 均勻 、 準均勻 和 分段 B233。zier曲線 (面 )三種類型又可看作是非均勻類型的特例 ， 因此 ， 習(xí)慣稱之為 非均勻有理 B樣條曲線 NURBS (NonUniform Rational BSplines) 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ? 基函數(shù)性質(zhì) ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 有理樣條曲線定義 ? 有理函數(shù) 是兩個多項式之比； 有理樣條 是兩個樣條函數(shù)之比 。 – 例如 ， 有理 B樣條曲線可用向量描述為： P(u)=(∑ωkPkBk,d(u))/(∑ωkBk,d(u))。 ? Pk是 n+1個控制點位置 ， ? 參數(shù) ωk是控制點的權(quán)因子 。 – ωk值越大 ， 曲線越靠近該控制點 Pk。 – 當(dāng)所有權(quán)因子都為 1時得標準 B樣條曲線 。 ? 構(gòu)造有理 B樣條表達式與構(gòu)造非有理表達式的步驟相同： – 給定控制點集 、 多項式次數(shù) 、 權(quán)因子 、 節(jié)點向量 ， – 用遞歸關(guān)系可得混合函數(shù) 。 – 通常 ， 圖形包用非均勻節(jié)點向量表示式來構(gòu)造有理B樣條 。 這些樣條稱作 NURBS。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ? 有理樣條特點 ? NURBS方法 ? NURBS特點 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 有理 /非有理樣條比較 ? 有理樣條與非有理樣條相比有兩個重要的優(yōu)點： – 有理樣條 提供了 二次曲線的精確表達式 ； – 非有理樣條表達式為多項式 ， 僅能逼近二次曲線 。 ? 這使圖形包能 用一個表達式 (有理樣條 )來 模擬所有曲線形狀 ， 無需用一個曲線函數(shù)庫去處理不同的形狀 。 – 有理樣條對于透視觀察變換是不變的 。 – 非有理樣條關(guān)于透視觀察變換是可變的 。 ? 這意味著可對有理曲線上的控制點應(yīng)用一個透視觀察變換 ， 來得到曲線的正確視圖 ， ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ? 有理樣條特點 ? NURBS方法 ? NURBS特點 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS方法 ? NURBS方法是建立在非有理 B233。zier方法和非有理 B樣條方法基礎(chǔ)上的。 ? 它提出的首要的理由是為了找到與描述自由型曲線曲面的 B樣條方法相統(tǒng)一的 、 又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學(xué)方法 。 ? 鑒于 NURBS在形狀定義方面的強大功能與潛力 ， ? 美國國家標準局在 1983年制訂的初始圖形交換IGES第二版就將 NURBS列為優(yōu)選類型 。 ? 1988年頒布的 STEP/PDES產(chǎn)品定義交換規(guī)范只規(guī)定了 NURBS為唯一的一種自由型參數(shù)曲線曲面 。 ? 1991年 ISO正式頒布的 STEP標準中 NURBS是唯一的自由型參數(shù)曲線曲面表示方法 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ? 有理樣條特點 ? NURBS方法 ? NURBS特點 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS方法的優(yōu)缺點 ? NURBS方法的優(yōu)點表現(xiàn)在以下幾個方面： ? 既為標準解析形狀也為自由型曲線曲面的精確表示與設(shè)計提供了一個公共的數(shù)學(xué)形式 。 ? 由操縱控制頂點及權(quán)因子為各種形狀設(shè)計提供了充分的靈活性 。 權(quán)因子的引入成為幾何連續(xù)樣條曲線曲面中形狀參數(shù)的替代物 。 ? NURBS計算穩(wěn)定且速度快； NURBS有明顯的幾何解釋 。 ? NURBS有強有力的幾何配套技術(shù) (包括插入節(jié)點 /細分 /消去 、 升階 、 分裂等 )。 ? NURBS在幾何變換及平行和透視投影變換下不變 。 ? NURBS是非有理 B樣條和 B233。zier形式合適的推廣 。 ? NURBS方法主要缺點包括： ? 需要額外的存儲以定義傳統(tǒng)的曲線曲面 。 ? 權(quán)因子的不合適應(yīng)用可能導(dǎo)致很壞的參數(shù)化 ， 甚至毀掉隨后的曲面結(jié)構(gòu) 。 ? 某些技術(shù)用傳統(tǒng)形式比 NURBS工作得好 。 如曲面求交 。 ? 某些基本算法存在數(shù)值不穩(wěn)定問題 。 例如：點的反求 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ? 有理樣條特點 ? NURBS方法 ? NURBS特點 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲線三種等價表示 ? 從表面上看 ， 與非有理 B樣條曲線比較 ， NURBS不過是多了權(quán)因子與分母 。 ? 正因為多了權(quán)因子與分母 ， 問題變得復(fù)雜 。 ? NURBS曲線有三種表示方法： ? 分式表示 是有理的由來 ， 它說明： NURBS曲線是非有理與有理 B233。zier和非有理 B樣條曲線的推廣；但卻難以從中了解更多的性質(zhì) 。 ? 在 有理基函數(shù)表示 形式中 ， 可從有理基函數(shù)的性質(zhì)清楚地了解 NURBS曲線的性質(zhì) 。 ? 齊次坐標表示形式 說明： NURBS曲線是它的控制頂點的齊次坐標或帶權(quán)控制點在 高一維空間里 所定義的 非有理 B樣條曲線 在 ω=1超平面上的 投影 。 ? 不僅包含了明確的幾何意義 ， 而且也說明： 非有理 B樣條曲線的大多數(shù)算法都可以推廣應(yīng)用于NURBS曲線 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ? 有理分式表示 ? 有理分式性質(zhì) ? 基函數(shù)表示 ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 齊次坐標表示 ? 齊次坐標表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲線有理分式表示 ? 一條 k次 NURBS曲線可表示為一分段有理多項式矢函數(shù)： ? 這給出了 NURBS的數(shù)學(xué)定義 ， 也是有理的由來 。 ? 參數(shù) ωi是控制頂點權(quán)因子 ， 分別與 n+1個控制頂點Pi(i=0,1,2,… ,n)相聯(lián)系 。 ? 首末權(quán)因子 ω0,ωn0， 其余 ωi≥0， 以防止分母為零 、 保留凸包性質(zhì)及曲線不致于權(quán)因子而退化為一點 。 ? 恰如非有理 B樣條曲線 ， 控制頂點 Pi(i=0,1,2,… ,n)順序連接成控制多邊形 。 ? Bi,k(u)是由節(jié)點向量 U={u0,u1,u2,… ,un+k+1)按遞推公式?jīng)Q定的 k次規(guī)范 B樣條基函數(shù) 。 ? ?? ?? ??????nikiinikiiiuBuBPuP0,