【正文】 同方 專轉(zhuǎn)本 高等數(shù)學(xué)核心教程 106 第四 章 定積分 本章主要知識(shí)點(diǎn) ? 定積分計(jì)算 ? 特殊類函數(shù)的定積分計(jì)算 ? 變限積分 ? 定積分 有關(guān) 的證明題 ? 廣義積分?jǐn)可⑿? ? 定積分應(yīng)用 （ 1）面積 （ 2）旋轉(zhuǎn)體體積 一、定積分計(jì)算 定積分計(jì)算主要依據(jù)牛頓 — 萊伯尼茲公式：設(shè) ? ?? CxFdxxf )()( ，則 ( ) ( ) ( ) ( )b baa f x d x F b F a F x? ? ?? 。 其主要計(jì)算方法與不定積分的計(jì)算方法是類似的，也有三個(gè)主要方法，但需要指出的是對(duì)于第 Ⅱ類直接交換法，注意積分限的變化 ： ? ?111 () ( ) ( )()( ) ( ( ) )xtbbaatxf x d x f t t d t? ??? ??????? ???? 。 例 ． 1 1 ( ln 1)e x dxx ?? 解：原式 = e 1 ( ln 1) lnx d x??= 32125( (ln ) ln ) |33exx?? 例 ． 30 11x dxx??? 解：原式 txtx?????11222 1121t tdtt ??? = 32 12 1ttdtt ??? = 3 2 2125( ) |33tt?? 例 ． ?20 2sin? xdxx 第四 章 定積分 107 解：原式 = ?? 20 2cos21 ? xxd = ??? 2020 2c os21|2c os21 ?? x dxxx = 20|2sin414?? x? =4? 二、特殊類函數(shù)的定積分計(jì)算 1． 含絕對(duì)值函數(shù) 利用函數(shù)的可拆分性質(zhì)，插入使絕對(duì)值為 0 的點(diǎn)，去掉絕對(duì)值，直接積分即可。 例 ． ?? ?21 |1| dxx 解：原式 = 121 1(1 ) ( 1)x dx x dx? ? ? ???? 212 |)2(2 xx ?? ? )121(02 ??? ? 25 例 ． ?? ???22 |)1||1(| dxxx 解：原式 = 1 1 22 1 1( | 1 | | 1 |) ( | 1 | | 1 |) ( | 1 | | 1 |)x x d x x x d x x x d x???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? = 1 1 22 1 1( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )x x d x x x d x x x d x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? = 1 1 22 1 12 2 2xd x d x xd x???? ? ?? ? ?= 212122 |4| xx ??? ?? = )14(4)41( ????? =10 2． 分段函數(shù)積分 例 ．??? ?? ?? 0,1 0,)( 2 xx xxxf ，求 ??11 )( dxxf 解：原式 =? ?? ?01 10 )()( dxxfdxxf=? ?? ??01 10 2)1( dxxdxx= 1030 12 |31|)2( xxx ??? = 31)121( ??? =65 同方 專轉(zhuǎn)本高等數(shù)學(xué) 核心 教程 108 例 ．??? ? ??? 1, 1,12)( xx xxxf，求 ?? ?12 )1( dxxf 解：原式 11221( 1 ) ( )uxf x d x f u d u????? ? ? ???1211( ) ( )f u du f u du? ??? 12 22111 ( 2 1 ) 0 ( )u d u u d u u u?? ? ? ? ? ??? 6 2 4? ? ? 3．奇函數(shù)積分 如果 ()fx為定義在 ? ?,aa? 的奇函數(shù)，則 ( ) 0aa f x dx? ??，這是一個(gè)很重要考點(diǎn) 。 例 ． 20222423a r c ta n 01xxdxx? ??? 例 ． 3 3 3 214441s in()1 xxx e dxx ?? ??? 解：原式 1 1 1110 xxe d x e e e? ? ???? ? ? ? ? ?? 例 ． 42222 c o s s in 2( 1 ) ( 2 ) xxx x x x e d xxx??? ??????????? 解：原式 2 2220 0 ( )x x xx e d x x e e? ?????? ? ? ? ? ?? 22( 1) ( 1)ee???? ? ? 例 ． ()fx為 [a,a]上的連續(xù)函數(shù)，計(jì)算 2( ( ) ( ) l n ( 1 ) )aa f x f x x x d x? ? ? ? ? ?? 解： 2( ) ( ) , l n( 1)f x f x x x? ? ? ?為奇函數(shù)，原式＝ 0 4．關(guān)于三角函數(shù)積分 對(duì) 積分 2200si n c o snnnI xd x x d x??????成立 ： 第四 章 定積分 109 2 2 1 2 3 12 2 ( 2 ) 2 2n nnI nn ??????； 21 2 2 ( 1 ) 2 12 1 2 1 3n nnI nn? ?? ? ??? 這個(gè)結(jié)論應(yīng)牢記，對(duì)于某些三角函數(shù)積分可以做到快捷。 例 ． 2620 sin cosx xdx?? 解：原式 2620 (1 c o s ) c o sx xdx???? 68 5 3 1 7 5 3 16 4 2 2 8 6 4 2 2II ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5256?? 例 ． 7220 sin cosx xdx?? 解：原式 2 7202 sin cosx xdx?? ? ? ?972 II ?? . 5．一些特殊的含有特定技巧的積分 例 . 1 21 1 si n ( )1 x x dxe ?? ?? 解：令 tx?? ， 原式＝ I＝ 1122s in s intxeetd t x d x J????? ? ?????， 1 21 s in 1I J xdx??? ? ?? ，則 I＝ 12 。 例 ． 40 ln(1 tan )x dx? ?? 解：令 ,4tx??? 原式＝ I＝ 0 440041 ta n 2l n ( 1 ta n ( ) ) l n ( 1 ) l n ( )4 1 ta n 1 ta ntt d t d t d ttt??? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? 同方 專轉(zhuǎn)本高等數(shù)學(xué) 核心 教程 110 ＝ ln24 I? ? ，解得 I＝ ln28? 。 例 ．20 sin1 sinxx dxx? ?? 解：令 tx???， 原式＝ I＝－ 020s in ( ) s in( ) ( ) 1 s inttt d t t d t?? ???? ?? ? ????? ＝20 si n1 si nt dt It?? ???， I＝20 s in 2 1ln2 1 s in 2 2 2 1x dxx??? ??? ?? 三、變限積分 變上限積分 是函數(shù)的另一種重要形式。 求導(dǎo)公式 ? ?? ? ? ?xa xf t dt f x? ?? （其中.a const? ）是一個(gè)非常重要的公式，它提供了利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究它的工具 ．更一般的結(jié)論是： ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?21 2 2 1 1xxd f t d t f x x f x xdx ?? ? ? ? ?????? 例 ． ? ?020si n ln 1 4limta n( 1 2 1)xxt t dtxx?????? 解：原式 ? ?030s in ln 1 4lim xxt t dtx?????? ? ?20 sin ln 1 4lim 3x xxx?? ?? ? ? ?20 4lim 3x xxx?? ?? ? 43? 例 ．? ?22ta n 3 20sin0 20( 1)limsi n 2txxx tt e dte t dt?????? 解：原式 ? ?22ta n322s in 2 20ta n 1 se cl im sin 2 2 sin c osxxxx e xe x x x???????????23402lim42xxxxx??????????161?? 例 ． 已知 ? ? 220x tf x t e dt???，研究 ??xf 的單調(diào)性，凹凸性． 第四 章 定積分 111 解： ? ? 22 xf x x e?? ? ? ? ? ?22222xxf x x e x e x???? ? ? ?? ? 2212 xexx ??? 由 ? ? ? ?0 , 0f x f x? ????得 1,0 ??? xx x ? ?,1??? 1? ? ?1,0? 0 ? ?0,1 1 ? ?1,?? ??fx? ? ? ? ? ? ?fx?? ? ? ? ? ??fx ? 拐點(diǎn) ? 拐點(diǎn) ? 拐點(diǎn) ? 例 ． 若 3( ) ( 2 )xxp x f x t dt???， 其中 )(xf 是已知一階可導(dǎo)函數(shù)，求 dxdp ，22dxpd 解： 2 5511( ) ( ) ( )22u x t xxp x f u d u f u d u?? ??? ? ??? 1 ( ( ) 5 ( 5 ) )2dp f x f xdx ? ? ? ? ?， 22 1 2 5( ) ( 5 )22dp f x f xdx ??? ? ? ? 例 . 已知函數(shù) ??xf 連續(xù)。且 ? ? 2lim0 ?? xxfx。設(shè) ? ? ? ?10x f xt dt? ? ?，求 ??x?? ，并討論 ??x?? 的連續(xù)性。 解： ．當(dāng) 0x? 時(shí)， 10 0 011( ) ( ) ( ) ( )u x t xxx f x t d t f u d u f u d uxx? ?? ? ?? ? ?； 當(dāng) 0x? 時(shí)， )0()0()( 10 fdtfx ?? ?? 由0()lim 2xfxx? ?， 故 (0) 0f ? ， 0 () ,0()00x f u duxx xx????? ?? ??? 當(dāng) 0x? ， 02( ) ( )() xxf x f u duxx??? ? ?, 同方 專轉(zhuǎn)本高等數(shù)學(xué) 核心 教程 112 000() 0( ) ( 0 )( 0 ) l im l imhhhf u d uh hhh???????? ?? ? 0 200() )l im l im 12hhhf u d u fhhh??? ? ?? （, 00220 0 0 0( ) ( ) ( )()l im ( ) l im l im l imxxx x x xx f x f u d u f u d ufxxx x x?? ? ? ??? ? ? ??? 0()2 l im 2 1 1 ( 0 )2xfxx ?? ?? ? ? ? ? ?, 所以， ()x?? 點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)。 四、有關(guān)定積分的證明題 有關(guān)定積分的證明題，主要的方法有：（ 1）線性交換，如 baxt ?? （ 2）變上限求導(dǎo)公式 （ 3）恒等變形 。 例 ． 如果 )(xf 為 [ , ]aa? 上的奇函數(shù)，證明 0)( ??? dxxfaa。 證 明 ： 0000( ) ( ) ( ) ( ) ( )txa a aa a af x d x f x d x f x d x f t d t f x d x???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?令 00 0 0( ) ( ) ( ) ( )a a aa f t d t f x d x f t d t f x d x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 00( ) ( ) 0aaf x d x f x d x? ? ? ??? 例 ． 證明： 2200( sin ) ( c o s )f x d x f x d x????? ，其中 )(xf 為已知可積函數(shù)。 證明：左邊 2 00 2022( si n( ) ) ( c os ( ) ) ( c os ( ) )2tx f t dt f t dt f t dt? 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