【正文】 1 微 積 分 章學(xué)誠 劉西垣 編著 普通高等教育 “ 十一五 ” 家級規(guī)劃教材 (經(jīng)濟管理類 ) 第三章 2 第三章 導(dǎo)數(shù)和微分 導(dǎo)數(shù)概念 求導(dǎo)法則 基本求導(dǎo)公式 高階導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的微分 導(dǎo)數(shù)和微分在經(jīng)濟學(xué)中的簡單應(yīng)用 3 第三章 導(dǎo)數(shù)和微分 他以幾乎神一般的思維力，最先說明了行星的運動和圖像，彗星的軌道和大海的潮汐． —— 牛頓墓志銘 （微積分）是由牛頓和萊布尼茨大體上完成的， 但不是由他們發(fā)明的． —— 恩格斯 4 微積分學(xué)大致產(chǎn)生于 17 世紀下半葉，在整個數(shù)學(xué)發(fā)展史上是自歐幾里得幾何學(xué) (約建立于公元前 3 世紀 ) 之后的一個最大的創(chuàng)造．雖然它的思想萌芽可追溯到古希臘時期，但它的創(chuàng)立，首先是為了解決 17 世紀所面臨的許多科學(xué)問題． 一元函數(shù)微積分可分成一元函數(shù)微分學(xué)和一元函數(shù)積分學(xué)兩部分．微分學(xué)是積分學(xué)的基礎(chǔ)． 導(dǎo)數(shù)（或微商）和微分是一元函數(shù)微分學(xué)中兩個密切相關(guān)的基本概念． 5 引發(fā)導(dǎo)數(shù)概念的問題主要有： 1) 已知直線運動的路程函數(shù) s(t)，求物體運動的速度 v； 2) 求曲線的切線； 3) 求函數(shù)的最大、最小值． 這些問題最終可歸結(jié)為求一個函數(shù)的因變量相對于自變量變化的快慢，即 “ 變化率 ”，這就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念．從局部來看 , 微分是函數(shù)的線性近似 , 它在一元函數(shù)積分學(xué)中起重要作用．導(dǎo)數(shù)可以看成是函數(shù)的微分與自變量的微分之比 , 故又稱 微商 ． 本章主要闡述函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分的概念以及它們之間的關(guān)系，并給出它們的運算法則和計算方法，最后介紹導(dǎo)數(shù)和微分概念在經(jīng)濟學(xué)中的簡單應(yīng)用． 6 導(dǎo) 數(shù) 概 念 兩個經(jīng)典問題 導(dǎo)數(shù)概念和導(dǎo)函數(shù) 單側(cè)導(dǎo)數(shù) 函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 7 兩個經(jīng)典問題 在闡述函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念之前 , 先介紹兩個古典的例子． 例 1 曲線的切線 . 在 17 世紀 , 為了設(shè)計光學(xué)透鏡和了解行星的運動方向 , 必須知道曲線的切線． 大家知道 , 圓的切線是與圓只有一個交點的直線．但這樣認識曲線的切線沒有普遍意義 . 給定曲線 C： y = f (x) ( x∈ D ), 假設(shè) U (x0) 是點 x0 的一個鄰域， U (x0) ? D, 則 P0(x0, f (x0))∈ C. 現(xiàn)在的問題是：什么是曲線 C 在點 P0 處的切線？這切線的斜率如何計算？ 8 給定曲線 C： y = f (x) ( x∈ D )，假設(shè) U (x0) 是點 x0 的一個鄰域 , U (x0) ? D, 則 P0(x0, f (x0))∈ C. 現(xiàn)在的問題是 : 什么是曲線 C 在點 P0 處的切線？這切線的斜率如何計算？ 設(shè) x∈ U (x0), x≠x0, 且點 P(x, f (x))∈ C, 則直線 P0P 稱為 C 的割線 . 當(dāng)點 P 沿曲線 C 趨于 P0 時 , 如果 P0P 繞點 P0 旋轉(zhuǎn)而趨于一個極限位置 P0T, 則直線 P0T 就稱為曲 線 C 在點 P0 處的 切線 (如圖 31), 即 : 當(dāng)點 時 , 直線 P0P?切線 P0T. 為確定切線 P0T, 關(guān)鍵是要求出它 的斜率 k = tan a, 其中 a 是 P0T 的傾角． 0CPP?沿 圖 31 9 為此 , 設(shè)割線 P0P 的傾角為 j, 記 Δx = x x0， Δy = f (x) f (x0) = f (x0 +Δx) f (x0)， 則 而點 P ? P0 等價于 x ? x0，即 Δx ? 0．故若切線 P0T 存在，則有 即切線 P0T 的斜率 () 求出了切線 P0T 的斜率 , 切線 P0T 也就確定了． 圖 31 ta n .yxj???00ta n l im ta n l im ,xxyxaj? ? ? ?????000 0( ) ( )l im l im .x x xf x f xykx x x? ? ????? 10 例 2 直線運動的瞬時速度 . 設(shè)一物體做直線運動 , 其運動方程為 s = s(t) (0≤t≤t1), 其中 s(0) = 0，它表示物體行走的路程 s 與所經(jīng)歷的時間 t 之間的關(guān)系（如圖 32）． 設(shè) t0, t0+Δt∈ [0, t1], 則在時間段 [t0, t0+Δt] (設(shè) Δt 0) 內(nèi)物體行走的路程 Δs = s(t0+Δt) s(t0). 在這時間段內(nèi)物體的平均速度 如果物體做勻速直線運動，則其平均速度 v 是一個常數(shù)，與 t0 和Δt 無關(guān)，這是最簡單的直線運動． 圖 32 00( , ) .sv t t tt?? ? ?? 在自然界和日常生活中人們所遇到的直線運動大多是非勻速運動，例如自由落體，下落的時間越久，在單位時間內(nèi)下落的距離越大，即它是一個變速運動 . 在這種情況下，平均速度不能精確地刻畫物體的運動狀況．隨之就提出了瞬時速度的概念． 11 例 2 直線運動的瞬時速度 . 如果極限 存在，就稱此極限值為物體在時刻 t0 的 瞬時速度 ，簡稱 速度 ，記為 v(t0). 所以 () 對于曲線運動 , 其速度不僅有大小 , 還有方向 , 速度的方向就是曲線的切線方向 . 人類在研究天體的運動時 , 必須知道天體運動的速度 . 速度的概念對于理解物體的運動具有極其重要的意義 . 0000l im ( , ) l imttsv t t tt? ? ? ??? ? ??00000( ) ( )( ) l im l im .tts t t s tsvttt? ? ? ?? ? ????? 12 導(dǎo)數(shù)概念和導(dǎo)函數(shù) 上面例 1 中的切線問題是一個幾何問題 , 而例 2 中的速度則是一個力學(xué)概念 , 在計算切線的斜率和運動的速度時都要遇到函數(shù)值的增量與自變量的增量之比的極限 , 它們的抽象就導(dǎo)致函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念． 定義 1 設(shè)函數(shù) y = f (x) 在點 x0 的某一鄰域 U (x0) 上有定義 . 如果對于自變量 x 在點 x0 的增量 Δx (x0 +Δx∈ U (x0)）和相應(yīng)的 函數(shù)值的增量 Δy = f (x0 +Δx) f (x0), 比值 當(dāng) Δx →0 時有極 限 , 則稱 函數(shù) f (x) 在點 x0 可導(dǎo) , 并稱此極限為 函數(shù) f (x) 在點 x0 的導(dǎo)數(shù) （或 微商 ） , 記為 f? (x0), 即 () yx??0000( ) ( )( ) l im l im .xxf x x f xyfxxx? ? ? ?? ? ?? ???? 13 這個定義可以用另一種形式表示： 若記 x = x0 +Δx, 則 Δx →0 即為 x → x0, 因此 ()? 函數(shù) y = f (x) 在點 x0 的導(dǎo)數(shù)也可用 或 或 表示． 所以 , 導(dǎo)數(shù) f ?(x0)表示曲線 C: y = f (x) 在點 P0(x0, f (x0)) 的切線P0T 的斜率 , 從而按直線的點斜式方程知 , 曲線 C: y = f (x) 在點P0(x0, f (x0)) 處切線 P0T 的方程為 y f (x0) = f ?(x0)(xx0). () 0000( ) ( )( ) l i m .xxf x f xfxxx?? ?0|xxy ??0dd xxyx ? 0d ( )d xxfxx ? 14 在力學(xué)中 , 導(dǎo)數(shù) s? (t0) 表示直線運動 s = s(t) 在時刻 t0 的瞬時速度 , 即 v(t0) = s? (t0). ()′ 在實際應(yīng)用中 , 通常把導(dǎo)數(shù) 稱為變量 y 對變量 x 在點 x0 的 變化率 , 它表示函數(shù)值的變化相對于自變量的變化的快慢 . 這樣 , 曲線的切線的斜率可以說成是曲線上點的縱坐標對該點的橫坐標的變化率 , 速度可以說成是行走的路程對于時間的變化率 . 變化率有廣泛的實際意義 , 例如 : 加速度就是速度對于時間的變化率 , 角速度就是旋轉(zhuǎn)的角度對于時間的變化率 , 線密度就是物質(zhì)線段的質(zhì)量對線段長度的變化率 , 功率就是所做的功對于時間的變化率 , 等等． 0dd xxyx ? 15 小 知 識 牛頓 (I. Newton, 1642—1727), 偉大的英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家 . 他給出了求一個變量對另一個變量的變化率的普遍方法 , 而且證明了求面積的問題可以作為求變化率的反問題而得到解決 , 這就是現(xiàn)在所稱的微積分基本定理 . 雖然他的先驅(qū)者在特殊的例子中觀察到了這一點 , 但并未認識到它的普遍意義 . 可以說正是牛頓在先前許多杰出的數(shù)學(xué)家作出的貢獻的基礎(chǔ)上 , 以他的敏銳和洞察力 , 完成最后最高的一步 , 成就了微積分學(xué)的創(chuàng)建工作．在他的著述中 , 用的是無窮小量的方法 , 他所說的“瞬” , 就是無窮小量 , 或者微元 , 或者不可分的量 . 他將現(xiàn)在所說的導(dǎo)數(shù)稱為“流數(shù)” , 牛頓關(guān)于微積分的工作有鮮明的力學(xué)和幾何色彩． 16 小 知 識 牛頓生于英格蘭的一個小村莊 , 出生前即喪父 , 在地方學(xué)校接受初等教育 , 除對機械設(shè)計有興趣外未顯示出有特殊的才華 . 1661年他進入劍橋大學(xué)三一學(xué)院 , 受教于數(shù)學(xué)家 I. 巴羅 , 并做實驗 , 研究笛卡兒的 “幾何” 以及哥白尼、開普勒、伽利略、沃利斯等人的科學(xué)著作 , 1665 年獲文學(xué)士學(xué)位． 此后二年因躲避倫敦的鼠疫回到家鄉(xiāng) , 開始他在機械、數(shù)學(xué)和光學(xué)方面的偉大工作 , 其中包括解決微積分問題的一般方法 , 但他沒有及時發(fā)表所獲得的成果 , 1667年回到劍橋 , 當(dāng)選為三一學(xué)院的研究員 , 次年獲碩士學(xué)位 . 1669 年被委任接替巴羅任教授直至 1701 年 , 由于需處理一些技術(shù)問題 , 以及嚴重的神經(jīng)衰弱和經(jīng)濟方面的原因 , 于1696 年受命任皇家造幣廠監(jiān)督 , 1703 年任英國皇家學(xué)會會長 , 1705年受女王封爵 , 晚年潛心于自然哲學(xué)和神學(xué)． 17 小 知 識 他由于 1672 年和 1675 年發(fā)表的兩篇光學(xué)論文曾遭到了不同觀點學(xué)者的嚴厲批評 , 所以直到 1687 年才在天文學(xué)家 E. 哈雷的鼓勵和資助下發(fā)表了他的巨著 《 自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理 》 （三卷） , 其中包含它在微積分學(xué)方面的工作 . 他分別于 1669 年、 1671 年和 1676 年完成的三本關(guān)于微積分的著作直到 18世紀才正式出版 . 從現(xiàn)在的觀點來看 , 牛頓關(guān)于微積分的基本概念的闡述和運算方法的證論是不很清晰和