[理學(xué)]考研定積分應(yīng)用詳解(已修改)
2024-12-20 01:20 本頁面
【正文】 1 第六章 定積分的應(yīng)用 若能把某個量表示成定積分 ,我們就可以應(yīng)用定積分計算這個量 2 ()i i iA f x?? ? ? ， 1[]i i ixx? ?? ，(3) 求和， 1( ) .niiiA f x?????(4) 求極限， 0 1lim ( )niiiA f x??? ????相應(yīng)的曲邊梯形被分為 n個小窄曲邊梯形， 小窄曲邊梯形的面積為 ,iA?則 1niiAA????(2)計算 iA?的近似值， 而第 i個 (1)把區(qū)間 [a,b]分成 n個長度為 ix?的小區(qū)間 ，],[ 1 ii xx ?得 A的近似值 , 得 A的精確值 . 回顧： 曲邊梯形的 面積 表示為 定積分 的步驟： a b x y o A)( xfy ? ( )dba f x x?1ix? ix?3 a b x y o A()y f x?x dxx?Ad對以上過程進(jìn)行簡化 : 的面積， 則 xxfA d)(??取 ,x? ? 面積元素 若用 A? 表示任一小區(qū)間 ],[ xxx d? 上的窄曲邊梯形 ?? xxfA d)(lim .d)( ?? baxxfAA???d,A記 為 ： d ( ) dA f x x?則 ，dAA??d A??? ( ) df x x? ，這種簡化以后的定積分方法叫“ 微元法 ”或“元素法” 4 一、定積分的 元素法 （元素法）解決 ? 表示為 0 1lim ( )niiiU f x??? ????1) 所求量 U 是與區(qū)間 [a , b]上有定義的 f (x) 有關(guān)的 2) U 對區(qū)間 [a , b] 具有可加性 , 即可通過 “大化小 , 常代變 , 近似和 , 取極限” ( ) dba f x x?0 1lim ( )niiifx??? ????定積分定義 一個整體量 。 5 .d)( ?? ba xxfU第一步，根據(jù)具體情況 ， 選取積分變量， 確定 x的變化 區(qū)間 [a,b]. 第二步，把區(qū)間 [a,b]分成 n個小區(qū)間， 取一代表區(qū)間 ，],[ xxx d?求出該區(qū)間上所求量的部分量的 ；xxfU d)(d ?稱為量 U的微元 . 第三步，寫出定積分的表達(dá)式： 近似表達(dá)式 這個方法通常叫做 元素法． x如 ：元素的幾何形狀常取為 : 條 ,帶 ,段 ,環(huán) ,扇 ,片 ,殼等 先作圖 ： 6 ： (1) U是與一個變量 x的變化區(qū)間 [a,b]有關(guān)的量 . (2) U對于區(qū)間 [a,b]具有可加性， 則 U相應(yīng)地分成許多 即如果把區(qū)間 [a,b]分成許多部分區(qū)間， 部分量， 而 U等于所有部分量之和 . 則 U在 [a,b] 上的值可由定積分 ( ) dU f x x?? ，示為 (3) 在 [a,b]中任取的小區(qū)間 ],[ xxx d? 上的部分量 U?與區(qū)間長度 dx可以通過 x的某函數(shù) ()fx 乘積近似表 ( ) dba f x x?來計算 . 7 1. 直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計算 ( 1 ) ( ) ( 0 )y f x? ?設(shè) 曲 線 與 直 線梯形的面積為 A. ?? ba xxfA d)( ba()y f x?xoyx dxx?dAX 型 (2)由曲線 ( ) ( ) , ,y f x y g x a x b? ? ? ?， [ ( ) ( )]f x g x?所圍圖形的面積 . 其面積元素為： d [ ( ) ( ) ] dA f x g x x?? ， 則面積為 ? ?? ba xxgxfA d)]()([上曲線 下曲線 x dxx?二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 8 ?? dc yyA d)(?? ?? dc yyyA d)]()([ ??(( 3 ) ( , ]0))[x y c d?? ?以 為 曲 邊 , 以 為 底 的 曲 邊 梯 形(4)由曲線 ( ) ( ) , ,x y x y c y d??? ? ? ?，[ ( ) ( ) ]yy??? 所圍圖形的面積 . 其面積元素為： d [ ( ) ( ) ] dA y y y???? ，則面積為 右曲線 左曲線 x o y ()xy??()xy??c d x y o c d ()xy??y+dy y y+dy y 的面積 A. Y 型 d ( ) dA y y??9 ( 5 ) ( ) [ , ] , ( )f x a b y f x?當(dāng) 在 上 有 正 有 負(fù) 時 設(shè) 曲 線 與 直 線a byxO()y f x?1A2A3AxxfA d)(d ?xxfA d)(d ?總之 xxfA d)(d ??ba1 ) ( ) 0fx ? 時 ,2 ) ( ) 0fx ? 時 ,.d?? baxyxxf d)(?? A10 ★ 回顧：極坐標(biāo)系 1. 極坐標(biāo)系的定義： 在平面上取定一點(diǎn) o， 叫做 極點(diǎn) . 從極點(diǎn)出發(fā)引一條射線 Ox,叫 極軸 ， 并取定一個 長度單位 和計算角度的 正方向 (通常取 逆時針方向作正方向 ), 這樣 就建立了一個 平面極坐標(biāo)系 . x 1 2 3 4 o . ??2. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 c os ,sin .xy??????
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