[理學(xué)]第十一章平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(已修改)
2024-10-31 01:05 本頁(yè)面
【正文】 ? ? 2. 各態(tài)歷經(jīng)性 ? 第十一章 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 167。 1平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念 設(shè) 是一隨機(jī)過(guò)程 , 若對(duì)任意的正整數(shù) n，任意 時(shí)刻 和任意的 h, 有 定義 1 ? ?( ),X t t T?Tttt n ?, 21 ?12( ( ) , ( ) , , ( ) )nX t X t X t 12( ( ) , ( ) , , ( ) )nX t h X t h X t h? ? ?與 具有相同的分布函數(shù) , 即 1 2 1 2( , , , 。 , , , )nnF x x x t t t1 2 1 2( , , , 。 , , , )nnF x x x t h t h t h? ? ? ?則稱隨機(jī)過(guò)程 為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程 .(P223) ? ?( ),X t t T?嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的含義是它的 n維分布或有窮維分布不隨自變量的公共時(shí)間平移而改變 . 性質(zhì) 1 設(shè) 是一嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程并且是一個(gè) 二階矩過(guò)程 . (1) 的均值函數(shù)是一常數(shù) ,記為 ()Xt [ ( ) ]X E X t? ?(2) 的相關(guān)函數(shù) 是單變量 的函數(shù) ， 記為 ()Xt 12( , )XR t t 21tt? ??1 2 2 1( , ) ( )XXR t t R t t??)]0(X[E)]t(X[E)t( ?????證明 :(1) 因?yàn)?X(t)與 X(t+h)同分別 , 令 h=t, 得 ? ?( ),X t t T?))( ( 0 ) ,( ))( ),(( ))( ),(( ))( ),(( ( 2 )122112121ttXXtXtXthhtXhtXtXtX????與得，令同分布，與)()]()0([)]()([),( 12122121 ttRttXXEtXtXEttR XX ?????設(shè) 是一個(gè)二階矩過(guò)程 , 若對(duì)任意 , 定義 2 ? ?( ),X t t T? Ttt ???,( ) [ ( ) ]XXt E X t????? ? ? ?, [ ( ) ( ) ]XXR t t E X t X t R? ? ?? ? ? ?（常數(shù)） 則稱 是一個(gè)寬平穩(wěn)過(guò)程 , 簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過(guò)程 . (P224) ? ?( ),X t t T? (1)若嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程還是二階矩過(guò)程 , 則嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程 必為寬平穩(wěn)過(guò)程 , 即二階矩存在的嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程 是寬平穩(wěn)過(guò)程； 由定義可知嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程與寬平穩(wěn)過(guò)程有如下的關(guān)： (3) 對(duì)于正態(tài)過(guò)程而言 , 寬平穩(wěn)過(guò)程和嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程 是等價(jià)的 . (2) 寬平穩(wěn)過(guò)程不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程 , 嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程 也不一定是寬平穩(wěn)過(guò)程； 性質(zhì) 2 設(shè) 是一 (寬 )平穩(wěn)過(guò)程，則 (1)均方值函數(shù)是一常數(shù) ， 且 (2)方差函數(shù)是一常數(shù) ， 且 (3) 協(xié)方差函數(shù)是時(shí)間差的函數(shù) ， 且 ? ?( ),X t t T?22[ ( ) ] ( 0)XXE X t R? ? ?22( 0)X X XR????2( ) ( )X X XCR? ? ???性質(zhì) 3 設(shè) 是 平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)，則 (1)非負(fù)性 (2)對(duì)稱性 (3)上界性 ? ?( ),X t t T?()XR ?(4) 非負(fù)定性 對(duì)任意 和任意實(shí)值函數(shù) 都有 2 ( 0) 0XXR ? ? ?( ) ( )XXRR????| ( ) | ( 0 )XXRR? ?niTt i ,2,1, ???)(tg0)()()(1,???? jinji jiXtgtgttR證 )]()([),()( tXtXEttRR XX ??? ?????)(),()]()([ ??? XX RttRtXtXE ?????(2) (3) (4) 22[ ( ) ] | [ ( ) ( ) ] |XR E X t X t????2 2 2[ ( ) ] [ ( ) ] ( 0 )XE X t E X t R?? ? ?, 1 , 1( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )nnX i j i j j i i ji j i jR t t g t g t E X t X t g t g t??????,1[ ( ) ( ) ( ) ( )]n i j i jijE X t X t g t g t?? ?21[ ( ) ( ) ] 0n iiiE X t g t???? 設(shè) 和 是兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程 , 若對(duì)任意 ，都有 , 定義 3 ? ?( ),X t t T?Ttt ???,成立，則稱 與 是平穩(wěn)相關(guān)的 , 或稱這兩個(gè)過(guò)程是聯(lián)合平穩(wěn)的 .(P225) { ( ), }Y t t T?)()]()([),( ??? XYXY RtYtXEttR ????()Xt ()Yt例1 設(shè) 是一互不相關(guān)的隨機(jī)變量序列 , 且 { , 0 , 1 , 2 , }kXk ? ? ?( ) 0kEX ? 2()kDX ??考察 的平穩(wěn)性 { , 0 , 1 , 2 , }kXk ? ? ?解： ( ) 0kEX ? 22( ) ( 0)k
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