[理學(xué)]第10講數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析與描述(已修改)
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【正文】 2021/11/10 1 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述和分析 實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 掌握用數(shù)學(xué)軟件包求解統(tǒng)計(jì)問題。 直觀了解統(tǒng)計(jì)基本內(nèi)容。 統(tǒng)計(jì)的基本理論。 實(shí)驗(yàn)作業(yè)。 用數(shù)學(xué)軟件包求解統(tǒng)計(jì)問題。 2021/11/10 3 統(tǒng)計(jì)的基本概念 參數(shù)估計(jì) 假設(shè)檢驗(yàn) 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述和分析 2021/11/10 4 1 、 表示位置的統(tǒng)計(jì)量—平均值和中位數(shù) 平均值 （或均值，數(shù)學(xué)期望）： ???niiXnX11 中位數(shù) ：將數(shù)據(jù)由小到大排序后位于中間位置的那個(gè)數(shù)值 .2 、 表示變異程度的統(tǒng)計(jì)量—標(biāo)準(zhǔn)差、方差和極差 標(biāo)準(zhǔn)差 ：2112])(11[ ?????niiXXns 它是各個(gè)數(shù)據(jù)與均值偏離程度的度量 . 方差 ：標(biāo)準(zhǔn)差的平方 . 極差 ：樣本中最大值與最小值之差 .一、統(tǒng)計(jì)量 2021/11/10 5 3 . 表示分布形狀的統(tǒng)計(jì)量—偏度和峰度偏度 ： ????niiXXsg1331)(1 峰度 ： ????niiXXsg1442)(1 偏度反映分布的對(duì)稱性， g1 0 稱為右偏態(tài)，此時(shí)數(shù)據(jù)位于均值右邊的比位于左邊的多； g1 0 稱為左偏態(tài)，情況相反；而 g1接近 0則可認(rèn)為分布是對(duì)稱的 . 峰度是分布形狀的另一種度量，正態(tài)分布的峰度為 3 ，若 g2比 3大很多，表示分布有沉重的尾巴，說明樣本中含有較多遠(yuǎn)離均值的數(shù)據(jù)，因而峰度可用作衡量偏離正態(tài)分布的尺度之一 . 4. k 階原點(diǎn)矩 ： ???nikikXnV11 k 階中心矩 ： ????nikikXXnU1)(12021/11/10 6 二、分布函數(shù)的近似求法 1 、 整理資料 ： 把樣本值 x 1 ， x 2 ， ? ， x n 進(jìn)行分組，先將它們依大小次序排列，得**2*1 nxxx ??? ? . 在包含 ],[**1 nxx 的區(qū)間 [a ， b] 內(nèi)插入一些等分點(diǎn)：,39。39。239。1 bxxxa n ????? ? 注意要使每一個(gè)區(qū)間 ],( 39。 139。 ?ii xx （ i =1 ， 2 ， ? ， n 1 ）內(nèi)都有樣本觀測值 x i （ i =1 ， 2 ， ? ， n 1 ）落入其中 .2 、求出各組的頻數(shù)和頻率 ：統(tǒng)計(jì)出樣本觀測值在每個(gè)區(qū)間 ],( 39。 139。 ?ii xx 中出現(xiàn)的次數(shù) in ，它就是這區(qū)間或這組的頻數(shù) . 計(jì)算頻率nnf ii ? .3 、作頻率直方圖 ：在直角坐標(biāo)系的橫軸上，標(biāo)出39。39。239。1 , nxxx ? 各點(diǎn)，分別以],( 39。 139。 ?ii xx 為底邊，作高為39。iixf?的矩形， 1,2,1,39。39。139。 ?????? nixxx iii ? , 即得頻率直方圖 .2021/11/10 7 三、幾個(gè)在統(tǒng)計(jì)中常用的概率分布 4 2 0 2 4 6 0 1 ． 正態(tài)分布 ) , ( 2 s m N 密度函數(shù)： 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( s m s p ? ? ? x e x p 分布函數(shù)： dy e x F y x 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( s m s p ? ? ? ? ? ? 其中 m 為均值， 2 s 為方差， ?? ? ? ? ? x . 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布： N （ 0， 1） 密度函數(shù) 2 2 2 1 ) ( x e x ? ? p j dy e x y x 2 2 2 1 ) ( ? ? ? ? ? F p ， 分布函數(shù) 2021/11/10 8 0 5 10 15 2002 、2? 分布2? （ n ） 若隨機(jī)變量 X 1 ， X 2 ， ? X n 相互獨(dú)立，都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N （ 0 ， 1 ），則隨機(jī)變量 Y=22221 nXXX ??? ?服從自由度為 n 的2?分布，記為 Y~2?（ n ） .Y 的均值為 n ，方差為 2n.2021/11/10 9 3 、 t 分布 t （ n ）若 X ~ N （ 0 ， 1 ）， Y~2? （ n ） ，且相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量 nYXT ?服從自由度為 n 的 t 分布，記為 T ~t （ n ） .t 分布 t （ 20 ）的密度函數(shù)曲線和 N （ 0 ， 1 ）的曲線形狀相似 . 理論上 n??時(shí)， T ~t （ n ）?N （ 0 ， 1 ） .6 4 2 0 2 4 602021/11/10 10 4. F 分布 F （ n1， n2）若 X~2? （ n1）， Y~2? （ n2），且相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量 21nYnXF ?服從自由度為 （ n1， n2）的 F 分布，記作 F ~ F （ n1， n2） .由 F 分布的定義可以得到 F 分布的一個(gè)重要性質(zhì)： 若 F ~ F （ n1， n2），則 ),(~112nnFF0 1 2 301返回 F分布 F（ 10， 50）的密度函數(shù)曲線 2021/11/10 11 無論總體 X 的分布函數(shù) F （ x ；k??? ,21? ）的類型已知或未知，我們總是需要去估計(jì)某些未知參數(shù)或數(shù)字特征，這就是參數(shù)估計(jì)問題 . 即參數(shù)估計(jì)就是從樣本 （ X1， X2， ? ， Xn）出發(fā)，構(gòu)造一些統(tǒng)計(jì)量 (?i? X1，X2， ? ， Xn） （ i = 1 ， 2 ， ? ， k ）去估計(jì)總體 X 中的某些參數(shù) （或數(shù)字特征） i?（ i = 1 ， 2 ， ? ， k ） . 這樣的統(tǒng)計(jì)量稱為 估計(jì)量 .1. 點(diǎn)估計(jì) ：構(gòu)造 （ X1， X2， ? ， Xn）的函數(shù)(?i?X1， X2， ? ， Xn） 作為參數(shù) i?的點(diǎn)估計(jì)量，稱統(tǒng)計(jì)量 i??為總體 X 參數(shù) i?的點(diǎn)估計(jì)量 .2. 區(qū)間估計(jì) ：構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)(1i? X1， X2， ? ， Xn）和(2i? X1， X2， ? ， Xn）做成區(qū)間，把這 （21,ii??）作為參數(shù)i?的區(qū)間估計(jì) .2021/11/10 12 一、點(diǎn)估計(jì)的求法 (一）矩估計(jì)法 假設(shè)總體分布中共含有 k 個(gè)參
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