【正文】 最優(yōu)控制原理 目錄 (1/1) 目 錄 ? 最優(yōu)控制概述 ? 變分法 ? 變分法在最優(yōu)控制中的應(yīng)用 ? 極大值原理 ? 線性二次型最優(yōu)控制 ? 動(dòng)態(tài)規(guī)劃與離散系統(tǒng)最優(yōu)控制 ? Matlab問題 ? 本章小結(jié) 變分法 (1/1) 變分法 ? 本節(jié)在討論變分法之前 ,先簡單討論多元函數(shù)的極值問題 ,然后引出泛函的極值問題。 ? 內(nèi)容為 ? 多元函數(shù)的極值問題 ? 泛函 ? 歐拉方程 ? 橫截條件 ? 歐拉方程和橫截條件的向量形式 多元函數(shù)的極值問題 (1/1) 多元函數(shù)的極值問題 ? 多元函數(shù)極值問題可分為 ? 無約束條件極值問題 、 ? 等式約束條件極值問題 和 ? 不等式約束條件極值問題 。 下面分別討論。 無約束條件的多元函數(shù)極值 (1/3) 1. 無約束條件的多元函數(shù)極值 ? 無約束條件的多元函數(shù)的極值問題討論的是 : ? 假定多元函數(shù) f(x1,x2,… ,xn)對(duì)其所有自變量都連續(xù) ,且具有連續(xù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù) 。 ? 將所有自變量 x1,x2,… ,xn記為向量 x的形式 ,則問題為求 x,使 x=x*時(shí) ,f(x)達(dá)到極小值 。 ? 該問題可記為 min ( )fx x無約束條件的多元函數(shù)極值 (2/3)定義 71 ? 函數(shù)極小的定義是一個(gè)相對(duì)概念 ,并不是在函數(shù)的定義域上的一個(gè)絕對(duì)概念 ,其基本定義可表述如下 。 ? 定義 71 若存在一個(gè) ?0,由 ‖xx*‖??所規(guī)定的 x*的鄰域內(nèi)總有 y(x*)?y(x),則稱點(diǎn) x*是函數(shù) y(x)的一個(gè)相對(duì)極小點(diǎn) ,簡稱為極小點(diǎn)。 □ ? 由數(shù)學(xué)分析知識(shí)可知 ,無約束條件時(shí)的多元函數(shù)極小值問題的解 x*滿足如下必要條件 0dd )(d0d )(d**2???? xxxx xxxxx?ff無約束條件的多元函數(shù)極值 (3/3) ? 如果函數(shù) f(x)對(duì) x的二階導(dǎo)數(shù)矩陣在 x*為正定矩陣 ,則上述多元函數(shù)極小值問題的必要條件亦為充分條件 ,即 是 x*為該多元函數(shù)極值問題的解的一個(gè)充分條件。 0dd )(d0d )(d**2???? xxxx xxxxx?ff有等式約束條件的多元函數(shù)極值 (1/5) 2. 有等式約束條件的多元函數(shù)極值 ? 有等式約束條件的多元函數(shù)極值問題可描述為 式中 ,g(x)為 p維的向量變量 x的向量函數(shù) ,并假定其連續(xù)可微 。 ? g(x)=0即為等式約束條件 。 m in ( )( ) 0fs .t. ?xxgx有等式約束條件的多元函數(shù)極值 (2/5) ? 拉格朗日乘子法是解決有等式約束條件的函數(shù)極值問題的有效方法 ,其求解基本方法如下 。 1) 先引入拉格朗日乘子 ?=[?1 ?2 … ?p]?,定義如下拉格朗日函數(shù) 2) 該極值問題的解 x*滿足如下必要條件 ? 如果函數(shù) L(x)對(duì) x的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣在 x*為正定矩陣 ,則該必要條件亦為充分條件 ,即 ( , ) ( ) ( )Lf ???x λ x λ gx**2*( , )0 , ( ) 0( , )0LL?? ????? ?????? ???x λgxxx λxx有等式約束條件的多元函數(shù)極值 (3/5)— 例 71 ? 例 71 求給定關(guān)于 n維變量向量 x的二次型標(biāo)量函數(shù) 在約束條件 下的極小值 。 ? 其中 ,e為 m維常數(shù)向量 。A,H和 b分別為適宜維數(shù)的常數(shù)矩陣和向量 。c為常數(shù) 。 **2*( , )0 , ( ) 0( , )0LL?? ????? ?????? ???x λgxxx λxx()f A c??? ? ?x x x b xex?H有等式約束條件的多元函數(shù)極值 (4/5) ? 解 先定義如下拉格朗日函數(shù) 式中 ,?為 m維拉格朗日乘子向量 ,那么 ? 當(dāng) (A+A?)可逆時(shí) ? 由約束條件 Hx=e,有 即 ( , ) ( )L A c H? ? ?? ? ? ? ?x λ x x b x λ xe? ? 0L A A H??? ? ? ? ? ?? xb λx? ? ? ?λbx ?? HAA ???? ? 1? ? ? ? eλb ???? ? ?? HAAH 1? ? ? ? ?????? ???????? ??? ??? ebλ 111 ??? AAHHAAH有等式約束條件的多元函數(shù)極值 (5/5) ? 將上述 ?的表達(dá)式代入式 (1),可得 當(dāng)矩陣 H為行滿秩矩陣時(shí) ,矩陣 H(A+A?)1H?是可逆的 ,此時(shí)上述解成立。 ? 由極值問題的充分條件可知 ,當(dāng) 時(shí) ,上述極值為極小值。 ? ? ? ? ? ? ? ?11 1 1 1A A A A H H A A H H A A? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?x b b e2*( , ) 0L AA ??? ? ? ???x λxx? ? ? ?1 (1)A A H???? ? ? ?xb λ有不等式約束條件的多元函數(shù)極值 (1/7) 3. 有不等式約束條件的多元函數(shù)極值 ? 有不等式約束條件的多元函數(shù)極值問題可描述為 式中 ,g(x)為 p維的向量變量 x的向量函數(shù) ,并假定其連續(xù)可微 。 ? 式 g(x)=0即為不等式約束 , ? 符號(hào)“ ?”的意思為函數(shù)向量 g(x)中每個(gè)元素“小于等于 0”。 m in ( )( ) 0fs .t. ?xxgx有不等式約束條件的多元函數(shù)極值 (2/7) ? 有不等式約束條件的函數(shù)極值問題的求解比等式約束條件的函數(shù)極值問題復(fù)雜。 ? 受前面討論的引入拉格朗日乘子的啟發(fā) ,求解不等式約束的函數(shù)極值問題也引入了乘子的概念 ,其求解基本方法可由如下庫恩 塔哈克 (KuhnTucker)定理給出。 有不等式約束條件的多元函數(shù)極值 (3/7)— 定理 71 ? 定理 71(庫恩 塔哈克定理 ) 對(duì)上述不等式約束的極值函數(shù)問題 ,那么必存在 p個(gè)不同時(shí)為零的數(shù) ?1,?2,…, ?p,滿足為 式中 ,?=[?1 ?2 … ?p]?為庫恩 塔哈克乘子向量 。 ? L(x,?)為如下庫恩 塔哈克函數(shù) ****i1*1 ) ( ) 0 0 。 1 , 2 , . . . ,d ( )( , ) d ( )2 ) 0dd3 ) ( ) 0 1 , 2 , . . . ,ipiiiipgLfg i p? ???? ? ??? ? ?????λ gxxx λ xx x xx)()(),( xgλxλx ??? fL有不等式約束條件的多元函數(shù)極值 (4/7)— 例 72 ? 例 72 求給定關(guān)于 n維變量向量 x的二次型標(biāo)量函數(shù) 解 先定義庫恩 塔哈克函數(shù)如下 22,2m in ( , ) 220 .50xyf x y x yyyx??????? ? ??2 2 21 2 1 2( , , , ) 2 ( 2 ) ( 5 )L x y x y y y x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?有不等式約束條件的多元函數(shù)極值 (5/7) ? 根據(jù)庫恩 塔哈克定理 ,極小值的必要條件如下 : 式中 ,現(xiàn)在依次考