【正文】 第二章 矩量法 (Method of Moment) 引言 矩量法的一般過程 選配和離散過程 點選配 脈沖分域基 三角形函數(shù)分域基 算子研究 近似算子 擴展算子 微擾算子 矩量法 (簡稱 MoM)，就其數(shù)值分析而言就是廣義Galerkin(伽略金 )法。矩量法包括兩個過程， 離散化過程和選配 過程 ，從而把線性算子方程轉(zhuǎn)化為矩陣方程。這里先舉一個簡單的例子。 [例 1]無限薄導體圓盤上的電荷分布問題。 試討論半徑為 a的無限薄理想導體圓盤，在中心線距離 d處有一點電荷 ，如圖 5171所示，求解導體圓盤上的電荷分布。 [解 ] 假設導體圓盤上電荷密度為 ，根據(jù)電磁學的基本概念可知： (1) 由外加電荷 Q在導體圓盤上產(chǎn)生的電位 Φe 和導體圓盤本身感應電荷密度 ζ所產(chǎn)生的電位 Φi之和 U 在盤上處處相等，即保證導體圓盤是等位面。 (2) 由于本問題中是感應電荷，因此總電荷 Qi≡0，其中 ( , )xy? ??圖 5171導體圓盤上的電荷分布 (5171) (5172) (5173) 2 2 204e Qx y d??????0( , )4isxy dSr????? ??? ??( , )isQ x y d S? ? ? ?? ??于是，問題可寫為 (5174) 式中 r= ，其中打撇的表示源點，不打撇的表示場點。 這個問題，采用電磁學經(jīng)典解析方法不能很好的解決，因為未知量 處于積分內(nèi)部，是一個典型的積分方程。為此，把圓盤分割成兩部分：中心小圓和外部環(huán)帶 (如圖 5171所示 )，并 假定每一部分內(nèi)的電荷密度 (i=1,2)近似為常數(shù) ，于是 (5175) 式中 (5176) 0 ( )eiiUQ? ? ? ? ?????? 約 束 條 件22( ) ( )x x y y??? ? ??i?21 1 2 21( , ) ( ) ( )ix y P S P S? ? ???? ???1 ()0 iiiSSPSSS???? ?? 稱為脈沖函數(shù)，這時問題方程 (5174)成為 (5177) (5178) 把問題方程 (5174)近似的轉(zhuǎn)化為式 (5177)和式 (5178)的過程稱為離散化過程。但是，必須注意到方程 (5177)中，場點 r表示圓盤上的任意點 (x， y)，換句話它們是不定的，因而式 (5177)中包含著無限個方程。另一方面，離散后的方程組 (5177)和方程組 (5178)內(nèi)只有三個未知數(shù) 、 和 ，于是方程組超定。 ()iPS21 021 40 ieii SiiidSUrS????????? ? ? ????????? ???1? 2? U 為了把 超定方程組 轉(zhuǎn)化為 唯一解 的方程組，可以采用很多辦法。矩量法中，習慣用選配過程解決這個問題。簡單說來，即在 每個離散的單元 上 只選取一個場點 作為代表來建立方程。例如，在 [例 1]中對于離散的 和 分別取 和 兩點做試驗點，如圖 5172所示。具體寫出方程組 (5179) 其中 1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 21 1 2 2 0 eel l Ul l USS??????? ? ? ? ?? ? ? ? ????????第 1 試 驗 點第 2 試 驗 點1S 11( , )xy 22( , )xy2S121122011122201121220221 ( 5 17 10)4 ( ) ( )1 ( 5 17 11)4 ( ) ( )1 4 ( ) ( )SSdSlx x y ydSlx x y ydSlx x y y??????????? ? ?????? ? ?????? ? ?????122222022 ( 5 17 12)1 ( 5 17 13)4 ( ) ( )SSdSlx x y y???????????????????? ? ???????圖 5172 圓盤上的試驗點 1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 21 1 2 2 0 eel l Ul l USS??????? ? ? ? ?? ? ? ? ????????第 1 試 驗 點第 2 試 驗 點 其中 表示 面元電荷 在 處產(chǎn)生場的自作用單元； 表示 面元電荷在 處產(chǎn)生場的自作用單元； 表示 面元電荷在 處產(chǎn)生場的互作用單元； 表示 面元電荷在 處產(chǎn)生場的 互 作用單元。 1S1S2S2S11l22l12l21l11( , )xy11( , )xy22( , )xy22( , )xy121122011122201121220221 ( 5 17 10)4 ( ) ( )1 ( 5 17 11)4 ( ) ( )1 4 ( ) ( )SSdSlx x y ydSlx x y ydSlx x y y??????????? ? ?????? ? ?????? ? ?????122222022 ( 5 17 12)1 ( 5 17 13)4 ( ) ( )SSdSlx x y y???????????????????? ? ???????又有 (51714) 經(jīng)過 離散化過程和選配 過程，將積分方程組 (近似地 )轉(zhuǎn)化為矩陣方程 (51715) 由此得出電荷分布的解為 (51716) 12 2 201122 2 20221414eeQx y dQx y d?????? ? ??????? ? ? ?? ???11 12 1 121 22 2 2121100eellllS S U??????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???11 1 1 1 2 12 2 1 2 2 2121100eellllU S S??? ??? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??圖 5173 矩量法的一般過程 圖 5173所示的矩量法求解問題的一般過程。 [討論 ] (1)矩量法的原問題并不限于積分方程，也可以是微分方程或其他方程。但必須能抽象成 算子方程 。從這一點而言，它是普遍的；另一方面，矩量法最終要轉(zhuǎn)化為 矩陣方程 加以解決。因此，原問題必須屬于線性算子范疇。例如，最速下降線所構(gòu)成的積分方程 不是線性泛函，所以無法采用矩量法。 (2) 電磁理論中計算的矩陣單元，一般均表示某個源在一個區(qū)域所產(chǎn)生的場，而實際產(chǎn)生的場往往都隨著源的距離增加而減少。換句話說，矩量法中矩陣一