一雨中行走問題(已修改)
2025-10-10 17:30 本頁面
【正文】 一 雨中行走問題 一個雨天，你有件急事需要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家不遠，僅一公里，況且事情緊急，你來不及花時間去翻找雨具，決定碰一下運氣，頂著雨去學(xué)校。假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個似乎很簡單的事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學(xué)模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。 1 建模準備 建模目標(biāo)：在給定的降雨條件下，設(shè)計一個雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最小。 主要因素： 淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠近，行走的速度 2）降雨大小用降雨強度 厘米 /時來描述，降雨強度指單位 時間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。 3）風(fēng)速保持不變。 4）你一定常的速度 米 /秒跑完全程 米。 h2 模型假設(shè)及符號說明 1）把人體視為長方體，身高 米，寬度 米，厚度 米。 淋雨總量用 升來記。 w dCIv D3 模型建立與計算 1）不考慮雨的方向，此時，你的前后左右和上方都將淋雨。 淋雨的面積 )( 22 2米wddhwhS ???雨中行走的時間 )(秒vDt ?降雨強度 )/()3 6 0 0/()/()/( smIII ?? 時米時厘米（升）米 SIvDSItC ??????? 3 6 0 0/)/(10)()3 6 0 0/( 3模型中 為變量。為參數(shù)，而 vSID ,結(jié)論， 淋雨量與速度成反比。這也驗證了盡可能快跑能 減少淋雨量。 。米即米米米小時厘米米若取參數(shù),/2,1000??????SdwhID秒。分秒，即你在雨中行走了每秒，則計算得米度你在雨中行走的最大速472167/6?v從而可以計算被淋的雨水的總量為 （升）。 經(jīng)仔細分析，可知你在雨中只跑了 2分 47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大約有 4 酒瓶的水量。這是不可思議的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實際。 原因：不考慮降雨的方向的假設(shè)， 使問題過于簡化。 2）考慮降雨方向。 v? hwd人前進的方向 若記雨滴下落速度為 （米 /秒） r雨滴的密度為 雨滴下落的反方向 1 , ?pp表示在一定的時刻 在單位體積的空間 內(nèi)，由雨滴所占的 空間的比例數(shù)，也 稱為降雨強度系數(shù)。 所以， rpI ?因為考慮了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計算淋雨量。 ?頂部的淋雨量 )s i n()/(1 ?prwdvDC ?度。表示雨滴垂直下落的速表示頂部面積，表示在雨中行走的時間?s i n,/rwdvD?前表面淋雨量 )]c o s([)/(2 vrpwhvDC ?? ??總淋雨量（基本模型） ))c os(s i n(21 vrhdr
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