【正文】 數(shù)學(xué)建模教案 設(shè)計(jì) 要 求 應(yīng)用和創(chuàng)新是數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)，也是素質(zhì)教育的靈魂；不論用數(shù)學(xué)方法解決哪類(lèi)實(shí)際問(wèn)題，還是與其他學(xué)科想結(jié)合形成交叉學(xué)科，首先的和關(guān)鍵的一步是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表述所研究的對(duì)象，即建立數(shù)學(xué)模型。在高科技，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)迅速發(fā)展的今天，計(jì)算和建模正成為數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑。本課程旨在提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)知識(shí)的獲取能力。 根據(jù)課程特點(diǎn)，要求同學(xué)們做到一些幾個(gè)環(huán)節(jié)： 認(rèn)真聽(tīng)講，認(rèn)真體會(huì)，善于思考，勤于總結(jié)。 學(xué)會(huì)查閱資料，認(rèn)真完成作業(yè)，要勤于動(dòng)手，做好每一個(gè)實(shí)驗(yàn)，認(rèn)真對(duì)待每 一個(gè)計(jì)算步驟。 有問(wèn)題及時(shí)提問(wèn)，及時(shí)解決。 參考書(shū) 1．《 數(shù)學(xué)模型 》 譚永基 復(fù)旦大學(xué)出版社 1997年 2．《 數(shù)學(xué)模型 》 姜啟源 高等教育出版社 2021年 3． 《 數(shù)學(xué) 建 模 與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》 趙靜 但琦 高等教育出版社 2021年 4． 《大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材》 葉其孝 湖南教育出版社 2021年 按學(xué)校規(guī)定，缺交作業(yè)或缺課達(dá) 1/3者不得參加本課程的考試。 前 言 數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)介 (包括數(shù) 學(xué)建模史 ) 數(shù)學(xué)，作為一門(mén)研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，它的內(nèi)容是從實(shí)際中抽象出來(lái)，與實(shí)際想脫離的，但在它生產(chǎn)和發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，一直是和人們生活的實(shí)際需要密切相關(guān)。 數(shù)學(xué)具有三大特點(diǎn)： （ 1）、抽象性 （ 2）、嚴(yán)密性 （ 3）、應(yīng)用的廣泛性 數(shù)學(xué)的任務(wù)和發(fā)展動(dòng)力 應(yīng)用是數(shù)學(xué)的主要任務(wù)，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的主要?jiǎng)恿Α? 數(shù)學(xué)的發(fā)展階段 數(shù)學(xué)發(fā)展經(jīng)歷了五個(gè)主要階段 主要階段 時(shí)期 主要成果 主要事件 萌芽時(shí)期 3500到 600 無(wú)演繹推理和公理法 三 次 數(shù)學(xué)危 機(jī) 發(fā)生在 500 ，1754， 1897年 初等 數(shù)學(xué) 時(shí)期 希臘文明 600到 641 論證數(shù)學(xué)逐漸形成 [1] 中世紀(jì) 641到 1300 文藝復(fù)興 1300到 1640 日心說(shuō)動(dòng)搖神學(xué)，自然科學(xué)解放 [2] 變量數(shù)學(xué)時(shí)期 1640到 1920 微積分的誕生 [3] 近代數(shù)學(xué)時(shí)期 1920到 1945 現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期 1945到 [1]雅典時(shí)期，泰勒斯，畢達(dá)哥拉斯開(kāi)始對(duì)命題加以證明（勾股定理，無(wú)理數(shù)），沒(méi)留下書(shū)籍；亞歷山大時(shí)期，歐幾里德，阿基米德，阿波羅泥，海倫，丟番圖等作出了永載史冊(cè)的功績(jī)。 [2]三次四次方程的求根公式，韋達(dá)和符號(hào) 代數(shù)學(xué)，三角的發(fā)展，小數(shù)與對(duì)數(shù)的發(fā)明。笛卡兒力求用代數(shù)的方法來(lái)解決幾何問(wèn)題，建立了解析幾何，標(biāo)志著變量數(shù)學(xué)時(shí)期的到來(lái)。 [3]牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，通過(guò)微積分的完善建立了分析數(shù)學(xué)。 數(shù)學(xué)建模是指用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行近似地刻劃和描述，數(shù)學(xué)建模并不是中新事物，自從有了數(shù)學(xué)并用數(shù)學(xué)去解決問(wèn)題時(shí)，就有了數(shù)學(xué)建模。縱觀人類(lèi)歷史上進(jìn)行過(guò)的三次重大的科學(xué)技術(shù)革命，每一次都是滲透著數(shù)學(xué)的應(yīng)用，都是數(shù)學(xué)建模過(guò)程。但將數(shù)學(xué)建模作為一門(mén)專(zhuān)門(mén)的學(xué)科和課程歷史還很短。 （待續(xù)） 數(shù)學(xué)建模教學(xué)的培養(yǎng)目標(biāo) （ 1）、 培養(yǎng)翻譯能力 （ 2）、應(yīng)用已學(xué)到的數(shù)學(xué)方法和思想進(jìn)行綜合應(yīng)用和分析，并能學(xué)習(xí)一點(diǎn)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，并能理解合理的抽象和簡(jiǎn)化，特別是進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的重要性。 （ 3）、發(fā)展聯(lián)想能力。 （ 4）、逐漸發(fā)展形成一種洞察力。 （ 5）、熟練使用技術(shù)手段。 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（ MCM）由來(lái)和歷史 1985年以前美國(guó)只有一種大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽（ The William Lowell Putnam mathematical Monthly,簡(jiǎn)稱(chēng) Putnam(普特南 )數(shù)學(xué)競(jìng)賽）自 1938 年起已舉辦 50 屆，普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽在吸引青年人熱愛(ài)數(shù)學(xué)從 而走上數(shù)學(xué)研究的道路，鼓勵(lì)各數(shù)學(xué)系更好地培養(yǎng)人才方面起了很大的作用，事實(shí)上一批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家就曾經(jīng)是它的獲獎(jiǎng)?wù)摺? （待續(xù)） 第 1 章 建立數(shù)學(xué)模型 [教學(xué)目的和要求 ] 本章作為全書(shū)的導(dǎo)言和數(shù)學(xué)模型的概述，主要討論建立數(shù)學(xué)模型的意義、方法和一般步驟，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型有一個(gè)全面的初步的了解。 [教學(xué)內(nèi)容 ] 167。 1． 1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型 本節(jié)先討論原型和模型，特別是數(shù)學(xué)模型的關(guān)系，再介紹數(shù)學(xué)模型的意義。 原型和模型 原型（ Prototype）和模型（ Model）是一對(duì)對(duì)偶體。 原型 指人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界里關(guān)心、研究或者 從事生產(chǎn)、管理的實(shí)際對(duì)象。在科技領(lǐng)域通常使用系統(tǒng)（ System）、過(guò)程（ Process）等詞匯，如機(jī)械系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、生命系統(tǒng)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，又如鋼鐵冶煉過(guò)程、導(dǎo)彈飛行過(guò)程、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程、污染擴(kuò)散過(guò)程、生產(chǎn)銷(xiāo)售過(guò)程、計(jì)劃決策過(guò)程等。本書(shū)所述的現(xiàn)實(shí)對(duì)象、研究對(duì)象、實(shí)際問(wèn)題等均指原型。 模型 則是指為某個(gè)特定目的將原型的某一部分信息減縮、提煉而構(gòu)成的原型替代物。 特別強(qiáng)調(diào) 構(gòu)造模型的目的性。模型不是原形原封不動(dòng)的復(fù)制品，原型有各個(gè)方面和各種層次的特征，而模型只要求反映與某種目的有關(guān)的那些方面和層次。一個(gè)原型 ，為了不同的目的可以有很多不同的模型，模型的基本特征是由構(gòu)造模型的目的決定的。例如： 展廳里的飛機(jī)模型： 外形上逼真，但是不一定會(huì)飛； 航模競(jìng)賽的模型飛機(jī)： 具有良好的飛行性能，在外觀上不必苛求； 飛機(jī)設(shè)計(jì)、試制過(guò)程中用大的數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)模擬：要求在數(shù)量規(guī)律上真實(shí)反映飛機(jī)的飛行動(dòng)態(tài)特征，毫不涉及飛機(jī)的實(shí)體。 模型的分類(lèi) 用模型替代原型的方式來(lái)分類(lèi)，模型可以分為 物質(zhì)模型 （ 形象模型 ）和 理想模型 （ 抽象模型 ）。前者包括 直 觀模型、物理模型，后者包括思維模型、符號(hào)模型、數(shù)學(xué)模型。 直觀模型 指那些供展覽用的 實(shí)物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例縮小或放大，主要追求外觀上的逼真。這類(lèi)模型的 效果 是一目了然的。 物理模型 主要指科技工作者為一定目的根據(jù)相似原理構(gòu)造的模型，它不僅可以顯示原型的外形或某些特征，而且可以用來(lái)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，間接地研究原型的某些規(guī)律。 如風(fēng)洞中的飛機(jī)模型用來(lái)試驗(yàn)飛機(jī)在氣流中的空氣動(dòng)力學(xué)特性。這類(lèi)模型應(yīng)該 注意 驗(yàn)證原型與模型間的相似關(guān)系，以確定模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠性。物理模型的 優(yōu)點(diǎn) 是?？傻玫綄?shí)用上很有價(jià)值的結(jié)果，但也存在成本高、時(shí)間長(zhǎng)、不靈活等 缺點(diǎn) 。 思維模型 指通過(guò)人們對(duì)原形的 反復(fù)認(rèn)識(shí)，將獲取的知識(shí)以經(jīng)驗(yàn)的形式直接存于人腦中，從而可以根據(jù)思維或直覺(jué)作出相應(yīng)的決策。通常說(shuō)的某些領(lǐng)導(dǎo)者憑經(jīng)驗(yàn)做決策就是如此。思維模型便于接受，也可以在一定條件下獲的滿意的結(jié)果，是它往往帶有模糊性、片面性、主觀性、偶然性等 缺點(diǎn) ，難以對(duì)它的假設(shè)條件進(jìn)行檢驗(yàn)，并且不便于人們的相互溝通。 符號(hào)模型 是在一些約束或假設(shè)下借助于專(zhuān)門(mén)的符號(hào)、線條等，按一定形式組合起來(lái)描繪原型。如地圖、電路圖、化學(xué)結(jié)構(gòu)式等，具有簡(jiǎn)明、方便、目的性強(qiáng)及非量化等 特點(diǎn) 。 數(shù)學(xué)模型 是由數(shù)字、字母或其它數(shù)學(xué)符號(hào)組成的，描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量規(guī)律 的數(shù)學(xué)公式、圖形或算法。 上面數(shù)學(xué)模型的概念還很模糊，我們下面仔細(xì)談?wù)勈裁词菙?shù)學(xué)模型。 數(shù)學(xué)模型 什么是數(shù)學(xué)模型 航行問(wèn)題：甲乙兩地相距 750km，船從甲到乙順?biāo)叫行?30h，從乙到甲逆水航行需 50h，問(wèn)船速，水速各若干？ 用 x， y分別代表船速和水速，則可以得到如下兩個(gè)方程 （ x+y） 30=750 ，（ xy） 50=750 實(shí)際上，這組方程就是上述航行問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。列出方程，原問(wèn)題已轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題。方程的解 x=20km/h， y=5km/h，最終給出了航行問(wèn)題的答案。 從上例中，我們可以 看出建立數(shù)學(xué)模型的基本內(nèi)容。 建立數(shù)學(xué)模型的基本內(nèi)容： 1． 據(jù)建立數(shù)學(xué)模型的目的和問(wèn)題的背景作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)（上例中，假設(shè)航行中船速和水速為常數(shù)）； 2． 用字母表示待求的未知量（上例中， x， y代表船速和水速）； 3． 利用相應(yīng)的物理或其它規(guī)律（上例中，勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間），列出數(shù)學(xué)式子（上例中，二元一次方程）； 4． 求出數(shù)學(xué)上的解答（上例中， x=20， y=5）； 5． 利用解答解釋原問(wèn)題（上例中，船速和水速分別為 20km/h和 5km/h） 6． 最后利用實(shí)際現(xiàn)象來(lái)驗(yàn)證上述結(jié)果。 數(shù)學(xué)模型 可以 描述為 ，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè) 特 定對(duì)象 ，為了一個(gè) 特定目的 ，根據(jù)特有的 內(nèi)在規(guī)律 ，做出一些必須的 簡(jiǎn)化假設(shè) ，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)?數(shù)學(xué)工具 ，等到的一個(gè) 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 。 本 課程重點(diǎn) 不在于介紹現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)學(xué)模型（ Mathematical Model）是什么樣子 ,而是要討論建立數(shù)學(xué)模型（ Mathematical Modelling）全過(guò)程。建立數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)稱(chēng)為 數(shù)學(xué)建模 或建模 。 167。 1． 2 建模示例之一 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎 問(wèn)題 ：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需稍微挪動(dòng)幾次，就可以使四只腳同時(shí)著地，放穩(wěn)了。這個(gè)看來(lái)似乎與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的現(xiàn) 象能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言給以表述，并用數(shù)學(xué)工具來(lái)證實(shí)嗎？ 模型假設(shè) 對(duì)椅子和地面作一些必要的假設(shè)： 1． 椅子四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面接觸處可視為一個(gè)點(diǎn)，四腳的連線呈正方形 . 2． 地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷（沒(méi)有像臺(tái)階那樣的情況），即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面 . 3． 對(duì)于椅腳的間距和椅腳的長(zhǎng)度而言，地面是相對(duì)平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地 . 模型構(gòu)成 中心問(wèn)題是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子四只腳同時(shí)著地的條件和結(jié)論表示出來(lái)。 首先要用變量表示椅子的位置。注意到椅腳連線成正方形，以中心為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，正方形的中心 的旋轉(zhuǎn)正好代表了椅子位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量表示椅子的位置。在圖 1 中椅腳連線為正方形 ABCD， 對(duì)角線 AC 與 x軸重合，椅子繞中心點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)角度 ? 后，正方形 ABCD轉(zhuǎn)至 39。 39。 39。 39。ABCD 的位置，所以對(duì)角線 AC與 x軸的夾角 ? 表示了椅子的位置。 其次要把椅腳著地用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)。如果用某個(gè)變量表示椅腳與地面的豎直距離 , 那么當(dāng)這個(gè)距離為零時(shí)就是椅腳著地了。椅子在不 同位置時(shí)椅腳與地面的距離不同，所以這個(gè)距離是椅子位置變量 ? 的函數(shù)。 雖然椅子有四只腳，因而有四個(gè)距離，但是由于正方形的中心對(duì)稱(chēng)性，只要設(shè)兩個(gè)距離函數(shù)就行了。記 A,C兩腳與地面距離之和為 f（ ? ）， B,D兩腳與地面距離之和為 g（ ? ）（ f（ ? ）， g（ ? ） ? 0）。有假設(shè) 2， f 和 g 是連續(xù)函數(shù)。又假設(shè) 3，椅子在任何位置至少有三只腳著地，所以對(duì)于任意的 ? ， f（ ? ）和 g（ ? ）中至少有一個(gè)為零。當(dāng) ? =0 時(shí)不妨設(shè) g（ ? ） =0， f（ ? ） 0。這樣，改變椅子的位置使四只腳同時(shí)著地，就歸結(jié)為證明如下的數(shù)學(xué)命題： 已知 f（ ? ）和 g（ ? ）是 ? 的連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意 ? ， f（ ? ） g（ ? ） =0，且 g（ 0）=0， f（ 0） 0。證明存 在 0? ，使 f（ 0? ） =g（ 0? ） =0. 模型求解 上述命題有多種證明方法，這里介紹其中比較簡(jiǎn)單，但是有些粗糙的一種。 將椅子旋轉(zhuǎn) 090 ，對(duì)角線 AC 與 BD 互換。由 g（ 0） =0 和 f（ 0） 0 可知 g（ ? /2） 0和 f（ ? /2） =0。 令 h（ ? ） =f（ ? ） g（ ? ），則 h（ 0） 0 和 h（ ? /2） 0。由 f和 g的連續(xù)性知 h也是連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，必存在 0? （ 00? ? /2）使 h（ 0? ） =0，即 f（ 0? ）=g（ 0? ） . 最后，因?yàn)?f（ 0? ） g（ 0? ） =0，所以 f（ 0? ） =g（ 0? ） =0. 由于這個(gè)實(shí)際問(wèn)題非常直 觀和簡(jiǎn)單，模型的解釋和驗(yàn)證就略去了。 評(píng)注 這個(gè)模型的巧妙之處在與用一元變量 ? 表示椅子的位置，用 ? 的兩個(gè)函數(shù)表示椅子四腳與地面的距離，進(jìn)而把模型假設(shè)和椅腳同時(shí)著地的結(jié)論用簡(jiǎn)單、精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，構(gòu)成了這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。 167。 1． 3 商人怎樣安全過(guò)河 三名商人各帶一個(gè)隨從乘船過(guò)河，一只小船只能容納兩人，有他們自己劃船。隨從們密約，在河的任何一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨，但是如何乘船 渡河的大權(quán)掌握在商人們手中，商人們?cè)鯓硬拍馨踩珊幽兀? 模型構(gòu)成 記 ,kkxy分別表示地 k次渡河前此岸的商人數(shù)和隨從數(shù)， ( , )k k ks x y?定義為狀態(tài)，顯然允許狀態(tài)集為 ? ?0 0 1 2 3 3 0 1 2 3 1 2( , ) , , , , 。 , , , , 。 ,s x y x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ,kkuv分別表示地 k次渡船上的商人數(shù)和隨從數(shù)， ( , )k k kd u v? 為決策變量；允許決策集為 ? ?1 2 0 1 2( , ) 。 , , ,D u v u v u v? ? ? ? ? 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方稱(chēng) 1 1()kk k ks s d? ? ? ? 求解： 167。 1．４ 人口增長(zhǎng)模型