實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及模型參數(shù)(1)(已修改)
2025-05-29 01:00 本頁面
【正文】 第 1章 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及模型參數(shù) 擬合方法 ? 問題的提出 ? ? ? ? ? 總目錄 問題的提出 ? 化工設(shè)計及化工模擬計算中，有大量的物性參數(shù)及各種設(shè)備參數(shù)。實(shí)驗(yàn)測量得到的常常是一組離散數(shù)據(jù)序列 （ xi ,yi） ? 圖 11所示為 “ 噪聲 ” ? 圖 12所示為無法同時滿足某特定的函數(shù) 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20050100150200Y X 0 2 4 6 8 1005101520Y X 圖 11 含有噪聲的數(shù)據(jù) 圖 12 無法同時滿足某特定函數(shù)的數(shù)據(jù)序列 總目錄 本章目錄 問題的提出 ? 在化學(xué)化工中，許多模型也要利用數(shù)據(jù)擬合技術(shù)，求出最佳的模型和模型參數(shù)。 ? 如在某一反應(yīng)工程實(shí)驗(yàn)中，我們測得了如表 11所示的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)： 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 溫度 T 10 20 30 40 50 60 70 80 轉(zhuǎn)化率 y 0 . 1 0 . 3 0 . 7 0 . 9 4 0 . 9 5 0 . 6 8 0 . 3 4 0 . 1 3 表 11 總目錄 本章目錄 問題的提出 ? 確定在其他條件不變的情況下，轉(zhuǎn)化率 y和溫度 T的具體關(guān)系，現(xiàn)擬用兩種模型去擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，兩種模型分別是： 2111 TcTbay ???2222)45( ???Tbacy (12) (13) 總目錄 本章目錄 擬合的標(biāo)準(zhǔn) 向量 Q與 Y之間的誤差或距離有以下幾種定義方法： ? （ 1）用各點(diǎn)誤差絕對值的和表示 ? （ 2）用各點(diǎn)誤差按絕對值的最大值表示 ? （ 3）用各點(diǎn)誤差的平方和表示 ????miii yxR11 )(?iimi yxR ?? ??? )(m ax1 ?22212 ))(( Q (x )YRyxRR imii ???? ??或?(14) (15) (16) R稱為均方誤差 總目錄 本章目錄 擬合的標(biāo)準(zhǔn) ? 由于計算均方誤差的最小值的原則容易實(shí)現(xiàn)而被廣泛采用。按均方誤差達(dá)到極小構(gòu)造擬合曲線的方法稱為最小二乘法。同時還有許多種其他的方法構(gòu)造擬合曲線，感興趣的讀者可參閱有關(guān)教材。本章主要講述用最小二乘法構(gòu)造擬合曲線。 總目錄 本章目錄 擬合的標(biāo)準(zhǔn) 實(shí)例 ? 實(shí)驗(yàn)測得二甲醇（ DME）的飽和蒸汽壓和溫度的關(guān)系如下表 ： 序號 溫度 ℃ 蒸氣壓 MPa 1 2 10 3 0 4 10 5 20 6 30 7 40 表 12 DME飽和蒸氣壓和溫度的關(guān)系 由表 12的數(shù)據(jù)觀測可得， DME的飽和蒸汽壓和溫度有正相關(guān)關(guān)系。 總目錄 本章目錄 擬合的標(biāo)準(zhǔn) 實(shí)例 ? 如果以直線擬合 p=a+bt,即擬合函數(shù)是一條直線。通過計算均方誤差 Q ( a , b )最小值而確定直線方程（見圖 13） 3 0 2 0 1 0 0 10 20 30 40 500 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 . 0pt圖 13 DME飽和蒸汽壓和溫度之間的線性擬合 2121)())((),( imi iimi ipbtaptpbaQ ????? ????擬合得到得直線方程為： tp 0 . 0 1 2 10 . 3 0 3 2 4 ??相關(guān)系數(shù) R為 ， 平均絕對偏差 SD為 。 (18) (17) 總目錄 本章目錄 擬合的標(biāo)準(zhǔn) 實(shí)例 如果采用二次擬合，通過計算下述均方誤差： 21221012210 )())((),( imiiimiii ptataaptpaaaQ ?????? ????擬合得二次方程為： 20 0 0 1 500 0 9 5 702 4 8 4 50 ..p ???（ 19） （ 110） 相關(guān)系數(shù)為 R為 ， 平均絕對偏差 SD為 。 具體擬合曲線見圖 14 3 0 2 0 1 0 0 10 20 30 40 500 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 . 0y =0 . 2 4 8 4 5 +0 . 0 0 9 5 7 x +0 . 0 0 0 1 5 x2壓力, P(MPa)溫度 , t( ℃ )圖 14 DME飽和蒸汽壓和溫度之間的二次擬合 總目錄 本章目錄 擬合的標(biāo)準(zhǔn) 實(shí)例 比較圖 13和圖 14以及各自的相關(guān)系數(shù)和平均絕對偏差可知： ? 對于 DME飽和蒸汽壓和溫度之間的關(guān)系，在實(shí)驗(yàn)溫度范圍內(nèi)用二次擬合曲線優(yōu)于線性擬合。 ? 二次擬合曲線具有局限性，由圖 14觀察可知，當(dāng)溫度低于 30℃ 時，飽和壓力有升高的趨勢，但在擬合的溫度范圍內(nèi)，二次擬合的平均絕對偏差又小于一次擬合，故對物性數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時，不僅要看在擬合條件下的擬合效果，還必須根據(jù)物性的具體性質(zhì)，判斷在擬合條件之外的物性變化趨勢，以便使擬合公式在已做實(shí)驗(yàn)點(diǎn)數(shù)據(jù)之外應(yīng)用。 總目錄 本章目錄 總目錄 本章目錄 單變量擬合和多變量擬合 ? ? 多變量的曲線擬合 單變量擬合 線性擬合 ? 給定一組數(shù)據(jù)（ xi,yi） ,i=1, 2 , …, m ，做擬合直線p (x)=a + bx , 均方誤差為 ： 2121)())((),( imiiimii ybxayxpbaQ ????? ????（ 111） Q (a , b)的 極小值需滿足： 0)(2),(1?????? ??imii ybxaabaQ0)(2),(1?????? ?? iimi ixybxab baQ總目錄 本章目錄 單變量擬合 線性擬合 ? 整理得到擬合曲線滿足的方程： ???????????? ? ?? ?? ? ?? ?mimimiiiiimimiiiyxbxaxybxma1 1 121 1)()()(???????????????????????????????????????????miiimiimiimiimiiyxybaxxxm111211或 (112) 稱式 (112)為擬合曲線的法方程。 總目錄 本章目錄 單變量擬合 線性擬合 ))(()())(/()( 21 121 11211211121121112111? ?? ???????????????? ?? ??????????????????????mimiiimimiimiiiimiimiimiiimiimiimiimiimiimiimiimiiimiimiixxmyxyxmbxxmyxxxyxxxmxyxxya可用消元法或克萊姆方法解出方程： 總目錄 本章目錄 單變量擬合 線性擬合實(shí)例 ? 例 ：下表為實(shí)驗(yàn)測得的某一物性和溫度之間的關(guān)系數(shù)據(jù)，表中 x為溫度數(shù)據(jù)， y為物性數(shù)據(jù)。請用線性函數(shù)擬合溫度和物性之間的關(guān)系。 x 13 15 16 21 22 23 25 29 30 31 36 40 y 11 10 11 12 12 13 13 12 14 16 17 13 x 42 55 60 62 64 70 72 100 130 y 14 22 14 21 21 24 17 23 34 總目錄 本章目錄 單變量擬合 線性擬合實(shí)例 ? 解：設(shè)擬合直線 ，并計算得下表： 編號 x y xy x2 1 2
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