【正文】 自動(dòng)控制原理課題 —— 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和能控能觀分析 一、課題名稱(chēng)與課題要求 系統(tǒng)能控性、能觀性分析： 已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型： 當(dāng) a分別?。?1， 0，＋ 1時(shí)，判別系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性。 182710)( 23 ?????sssassG穩(wěn)定性分析 已知閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并給出不穩(wěn)定極點(diǎn)。 ： 判斷單位負(fù)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 4 3 25 4 3 23 s 2 4 2G ( s ) =3 5 2 2 1s s ss s s s s? ? ? ?? ? ? ? ?5 4 3 255 4 0 .6 3 0 .5() z z z z zGzz? ? ? ? ?? 給定系統(tǒng)的 狀態(tài)方程如下 : (1) 利用 MATLAB建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型； (2) 分析系統(tǒng)的可控性和可觀性； (3) 計(jì)算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)； (4) 根據(jù)傳遞函數(shù)，計(jì)算系統(tǒng)的零極點(diǎn)，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性； (5) 利用 LTI Viewer 工具繪制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 ? ?????????????????????????????????????????xyuxx001.100041020122.二、現(xiàn)代控制理論的可控性和可觀性 狀態(tài)空間基本概念 任何一個(gè)系統(tǒng)在特定時(shí)刻都有一個(gè)特定的狀態(tài)，系統(tǒng)在 t0時(shí)刻的狀態(tài)是 t0時(shí)刻的一種信息量，它與此后的輸入一起惟一地確定系統(tǒng)在t≥t0時(shí)的行為。 狀態(tài)變量是一個(gè)完全表征系統(tǒng)時(shí)間域行為的最小內(nèi)部變量組。 設(shè)系統(tǒng)有 n個(gè)狀態(tài)變量，用 x1(t),x2(t),…,xn(t)表示，而且把這些狀態(tài)變量看做向量 x(t)的分量，則向量 x(t)稱(chēng)為狀態(tài)向量，記為 x(t)=[x1(t),x2(t),...,xn(t)]’ 以狀態(tài)變量 x1(t),x2(t),...,xn(t)為軸的 n維實(shí)向量空間稱(chēng)為狀態(tài)空間。 描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組（連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)）或一階差分方程組（離散時(shí)間系統(tǒng)）稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，它表征了輸入對(duì)內(nèi)部狀態(tài)的變換過(guò)程，其一般形式為： 其中， t是時(shí)間變量， u(t)是輸入變量。 描述系統(tǒng)輸出量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程稱(chēng)為輸出方程，它表征了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變化和輸入所引起的系統(tǒng)輸出變換，是一個(gè)變化過(guò)程。輸出方程的一般形式為： y(t)=g[x(t),u(t),t] 狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱(chēng)為狀態(tài)空間表達(dá)式，也稱(chēng)動(dòng)態(tài)方程，它表征一個(gè)系統(tǒng)完整的動(dòng)態(tài)過(guò)程，其一般形式為： 將其寫(xiě)成向量矩陣形式為： 其中， x=[x1,x2, ... ,xn]’表示 n維狀態(tài)向量； y=[y1,y2, ... ,ym]’表示 m維輸出向量； u=[u1,u2, ... ,ur]’表示 r維輸入向量；A表示系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的系數(shù)矩陣，稱(chēng)為系數(shù)矩陣 An n。B表示輸入對(duì)狀態(tài)作用的矩陣，稱(chēng)為輸入（或控制）矩陣 Bn r。C表示輸出與狀態(tài)關(guān)系的矩陣，稱(chēng)為輸出矩陣 Cm n。D表示輸入直接對(duì)輸出作用的矩陣，稱(chēng)為直接轉(zhuǎn)移矩陣 Dm r,也稱(chēng)前饋系數(shù)矩陣。 A由系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其參數(shù)決定，體現(xiàn)了系統(tǒng)內(nèi)部的特性，而 B則主要體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入的施加情況，通常情況下D=0。 狀態(tài)空間描述具有以下特點(diǎn)： （ 1）狀態(tài)空間描述考慮到了 “ 輸入 狀態(tài) 輸出 ” 這一過(guò)程，考慮到了被經(jīng)典控制理論的 “ 輸入 輸出 ” 描述所忽略的狀態(tài)，因此它揭示了問(wèn)題的本質(zhì)，即輸入引起了狀態(tài)的變化，而狀態(tài)決定了輸出。 （ 2）輸入引起的狀態(tài)變化是一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為向量微分方程，即狀態(tài)方程。狀態(tài)決定輸出是一個(gè)變換過(guò)程，數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為變換方程，即代數(shù)方程。 （ 3）系統(tǒng)的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)，一個(gè) n階系統(tǒng)的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)為 n。 （ 4）對(duì)于給定系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇不唯一，狀態(tài)變量的線性變換結(jié)果也可以作為狀態(tài)變量。 （ 5）一般來(lái)說(shuō)，狀態(tài)變量不一定是物理上可測(cè)量或可觀察的量，但從便于構(gòu)造控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，把狀態(tài)變量選為可測(cè)量或可觀測(cè)的量更合適。 在現(xiàn)代控制理論中，可控性和可觀性是兩個(gè)重要的概念，它們是卡爾曼在 1960年提出的，是最優(yōu)控制和最優(yōu)估計(jì)的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)。 可觀性針對(duì)的是系統(tǒng)狀態(tài)空間模型中狀態(tài)的可觀測(cè)性，它表示系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)（通常是不可以直接測(cè)量的）可由系統(tǒng)輸出量 Y（ t）（通常是可以直接測(cè)量的）反映的能力。 嚴(yán)格地說(shuō)，可控性分為兩種，一種是系統(tǒng)控制輸入 U（ t）對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài) X(t)的控制能力，另一種是控制輸入 U(t)對(duì)系統(tǒng)輸出 Y(t)的控制能力。但一般沒(méi)有特別指明時(shí)，指的都是狀態(tài)的可控性。 系統(tǒng)的可控性和可觀性研究一般都基于系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。 可控的判據(jù) 單輸入 n階離散系統(tǒng)可控的充分必要條件是：可控判別陣 M=[h Gh ... Gn1h]n n的秩等于 n，即 rank(M)=rank[h Gh ... Gn1h]=n n階連續(xù)系統(tǒng)可控的充分必要條件為可控判別陣M=[b Ab ... An1b] n n的秩等于 n。 對(duì)于多輸入 n階連續(xù)定常系統(tǒng)： 。其中，A為 n n階陣， B為 n r階陣， U為 r維輸入。系統(tǒng)可控的充分必要條件為可控判別陣 M=[B AB ... An1B] n n的秩等于 n，即 rank(M)=n。 秩判據(jù)說(shuō)明連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性只與狀態(tài)方程中的 A、 B矩陣有關(guān)。 可觀的判據(jù) 對(duì)于離散系統(tǒng)，其完全可觀的充分必要條件為可觀判別陣 N=[C CG ... CGn1]’的秩等于 n，即 rank(N)=n。 線性連續(xù)系統(tǒng)完全可觀的充分必要條件是可觀判別陣 N=[C CA ... CAn1]’的秩為 n。 該秩判據(jù)說(shuō)明連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能觀測(cè)性只與狀態(tài)方程中的 A、 C矩陣有關(guān)。 三、離散控制系統(tǒng) 離散控制系統(tǒng)概述 數(shù)字、離散控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)的根本區(qū)別在于： （ 1）離散控制系統(tǒng)中既可以包含連續(xù)信號(hào)，又可以包含離散信號(hào)，是一個(gè)混合信號(hào)系統(tǒng)。 （ 2）連續(xù)系統(tǒng)中的控制信號(hào)、反饋信號(hào)以及偏差信號(hào)都是連續(xù)型的時(shí)間函數(shù)，而在離散系統(tǒng)中則不然。一般情況下，其控制信號(hào)是離散型的時(shí)間函數(shù)，因此取自系統(tǒng)輸出端的負(fù)反饋信號(hào)在和離散控制信號(hào)進(jìn)行比較時(shí)，同樣需要采用離散型的時(shí)間函數(shù)，那么比較后得到的偏差信號(hào)也將是離散型的時(shí)間函數(shù)。 （ 3）分析和設(shè)計(jì)數(shù)字、離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具是 Z變換，采用的數(shù)學(xué)模型是差分方程、脈沖傳遞函數(shù)。 離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù) 離散控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分條件是：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均位于單位圓內(nèi)。因此判斷離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的最直接的方法是計(jì)算閉環(huán)特征方程的根，然后根據(jù)根的位置來(lái)確定系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性。 勞斯判據(jù)是判斷連續(xù)系統(tǒng)是否穩(wěn)定的一種簡(jiǎn)單的代數(shù)判據(jù)。由于連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)不同，所以在離散控制系統(tǒng)中不能直接應(yīng)用勞斯判據(jù)，必須進(jìn)行變換?；陔p線性變換和勞斯判據(jù)的方法能用來(lái)判斷離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 該方法是將離散控制系統(tǒng)用雙線性變換將 Z平面單位圓內(nèi)的點(diǎn)映射到 W平面的左半平面，然后用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 四、程序框圖 matlab中顯示的菜單 matlab中的程序的運(yùn)行結(jié)果 第一題運(yùn)行的結(jié)果 當(dāng) a=1時(shí)的可控陣和可觀陣： a=0時(shí)的可控陣和可觀陣： a=1時(shí)的可控陣和可觀陣： 第二題的運(yùn)行結(jié)果 系統(tǒng)的零極點(diǎn)及增益如下所示： 第二題的零極圖與根軌跡如下所示： 第二題系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和脈沖響應(yīng) 第二題的系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型為： （ 1）比例微分環(huán)節(jié)： jw+1 0~π/2 （ 2）比例微分環(huán)節(jié)：（ jw)/+1 0~π/2 （ 3）二階微分環(huán)節(jié)：（ jw)2/+1 0~π （ 4）慣性環(huán)節(jié)： 1/(jw/+1) 0~π/2 （ 5）振蕩環(huán)節(jié)： 1/((jw)2/++1) 0~π （ 6）振蕩環(huán)節(jié)： 1/((jw)2/+1) 0~π 所以，總的 φ（ w） =0~ π/2 第二題的 bode圖 nyquist圖 線性時(shí)不變工具箱對(duì)第二題仿真的驗(yàn)證： 第三題的運(yùn)行結(jié)果 離散系統(tǒng)單位負(fù)反饋的零極圖和根軌跡： 第三題離散系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和脈沖響應(yīng) 第三題離散系統(tǒng)單位負(fù)反饋的 bode圖和 nyquist圖 LTI Viewer對(duì)第三題離散系統(tǒng)單位負(fù)反饋的仿真驗(yàn)證： 第四題的運(yùn)行結(jié)果 （ 1）數(shù)學(xué)模型 （ 2）可控性和可觀性 （ 3）傳遞函數(shù) （ 4）系統(tǒng)的零極點(diǎn) （ 5）利用 LTI Viewer工具繪制階躍響應(yīng)曲線： 五、小節(jié) 通過(guò)本次課題實(shí)踐，我對(duì)于在 matlab中操作矩陣又有了一些全新的認(rèn)識(shí)。對(duì)如何畫(huà)根軌跡、 bode圖和 nyquist圖又有了些新的體會(huì)。實(shí)現(xiàn)了可控可觀的秩判據(jù)，還有系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究。對(duì)于時(shí)域、頻域、復(fù)頻域和離散域也有了些體會(huì)。在控制理論中，應(yīng)該將上述幾個(gè)域綜合起來(lái)看，這樣更加有利于去理解問(wèn)題和解決問(wèn)題。 六、心得 通過(guò) matlab在控制系統(tǒng)中的仿真，我覺(jué)得在研究自控方面， matlab確實(shí)是一款很優(yōu)秀的軟件。它的軌跡我們可以去跟蹤，這種實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)對(duì)于我們非常的重要。matlab在經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論和智能控制理論中都有很大的用處。經(jīng)典控制理論是單輸入單輸出（ SISO），而現(xiàn)代控制理論側(cè)重于多輸入多輸出（ MIMO）。 七、參考文獻(xiàn) [1] 沈傳文主編 自動(dòng)控制理論 西安：西安 交通大學(xué)出版社 [2] 王正林編著 MATLAB/Simulink與控制系統(tǒng)仿真 北京：電子工業(yè)出版社 [3] 張德豐等編著 MATLAB/Simulink建模與 仿真實(shí)例精講 北京：機(jī)械工業(yè)出版社 源程序： 在編譯源程序之前，請(qǐng)?jiān)诒４?matlab源程序的路徑下建立四個(gè)文件夾，它們分別是： “ 第一題的 txt文檔 ” ， “ 第二題的txt文檔和截圖 ” ， “ 第三題的 txt文檔和截圖 ” ， “ 第四題的 txt文檔和截圖 ” ，這四個(gè)文件夾用來(lái)保存相應(yīng)的矩陣、零極點(diǎn)和figure圖形。 源程序如下； clc disp(39。：G(s)=s+a/s^3+10s^2+27s+18,39。)。 disp(39。當(dāng) a分別取 1， 0， 1時(shí)，判別系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性。 39。)。 disp(39。： 39。)。 disp(39。G(s)=3s^4+2s^3+s^2+4s+2/3s^5+5s^4+s^3+2s^2+2s+139。)。 disp(39。判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并給出不穩(wěn)定極點(diǎn)。 39。)。