【正文】 做出相應的決策或者對未來的發(fā)展進行某種預測。建立數學模型的第一步，是把對一個實際問題的描述翻譯成數學語言，翻譯的過程同中學時解“應用題”的過程很相似，根據問題中給出的已知條件和要求達到的目的，設定若干變量，有時還需要添加或補充一些假設條件，由此推導并建立起變量間的用等式描述的關系。所不同的是，微分方程中的等式關系是微觀的、瞬時的關系。建立微分方程模型的一般過程我們知道解應用題是沒有通用法則可循的，必須具體問題具體分析，建立微分方程模型也是如此。下面只是列出在建模過程中通常需要注 僅意的一些地方。在剛開始學習構造微分方程模型時，總是習慣地用代數方程來思考，事實上，僅考慮問題中各個量之間的靜態(tài)關系，而不注意它們與其變化率之間的關系 ．需要特別關注實際問題中表示“導數”的常用詞，如物理問題中的“速率”、生物學或人口學問題中的“增長率”、放射性問題中的“衰變率”等一些涉及變化率的詞，或者“在單位時間里，某個量改變了多少”一類的字樣。圍繞這些變化的量。設法利用所涉及的原則或現有的物理定律，或者根據問題中給出的條件推導出合適的關系式。在多數一階微分方程的建模問題中，往往可以套用這樣一種模式 ：變化率=輸入率 －輸出率，其中變化率一般表示成導數的符號 X′。這個微分方程應該是在每一時刻都成立的瞬時表達式，而等號右邊的輸入率和輸出率則是需要根據題意寫出的 X 和 T 的函數 ． 方程中的每一項都應該有相同的物理量綱，以保證等式的合理性。以方程（１唱３）為例，DX／DT的單位是個／秒、個／年等，表示單位時間里群體變化的數量，一般是瞬時值，R0的單位為 １／S，１／A 等，是單位時間單一個體的增長率（生殖率 －死亡率）；而１ － X／XM 是無量綱的，純粹是一個比率。這樣，這個方程兩邊的單位相同。在建模時，除了建立瞬時表達式外我們還需要知道一些有關特定時刻的額外信息，它們與微分方程無關，但可用來幫助確定微分方程中的系數和解中的積分常數。這些參數也是數學模型中不可缺少的部分，合理地選擇這些參數是建模成功的關鍵之一。額外信息是通過有關問題的背景領域的專業(yè)知識、相關的實驗數據或者我們的日常經驗等提取出來的。再用這些信息來推導、選擇方程中的參數，并從不同的方面加以驗證。用數學語言描述實際問題，或者說將實際問題翻譯成數學語言，必須有合理的符合實際的假設，以假設的方式給出所涉及的物理定律或有關領域的某些規(guī)律 ． 但是實際世界往往十分復雜，互相影響的量相當多，或者所研究的問題還沒有現成的規(guī)律可依（往往對非物理領域的問題）。在實際的翻譯中免不了要有一定的近似，需要對問題有一定的簡化，因此，提出合理的假設是建好數學模型的首要關鍵，它是整個建模過程的基礎，必須引起足夠的重視。一方面，我們要求假設符合實際情況，能夠反映所研究的問題的基本特征和基本行為。在前面的例子中，各種假設盡可能地滿足生物生態(tài)學上的具體要求。對所作的假設必須有足夠的根據，應做出定性或者定量的分析。如果假設條件太嚴格，就使得推導出來的數學模型描述的對象過分簡單，與實際情況相去甚遠，或者解決的問題范圍十分狹窄，計算結果的誤差太大。但是，如果假設條件過分寬松，往往得不出數學描述，即使能得到也因為太復雜而使數學處理非常困難。因此另一方面，我們還要作一些簡化假設，如消除次要項、把某些變量限制為常數或者線性化等。數學模型是實際世界的一種近似，建模目的不同，或者感興趣的方面不同，就有不同的簡化假設，比如為了預測變化的未來時刻的狀態(tài)，為了解釋某種現象的發(fā)生機理或者為了優(yōu)化、控制某個動態(tài)系統(tǒng)，等等。在不同的精度要求下，也會有不同的簡化，我們必須審慎取舍，在這兩個方面采取一種合適的折中辦法，才能得出準確而實用的數學模型。只有有了合適的假設，才有可能寫出理想的微分方程 ．求解微分方程也是建模的重要組成部分，在微分方程的有關教材中介紹過許多求解的方法，在此不再詳細討論了，其實，許多模型比較復雜，需要作進一步的簡化才能求得分析解；我們也經常用數值方法計算那些方程的解；有時干脆不去求具體的解，直接討論微分方程的性質，比如它們的穩(wěn)定性、漸衡、周期解等 ．最后一個重點是，要根據計算的結果用語言去解釋有關的現象。通常，實際問題是由有關領域的專家或工作人員提出來的，他們一般不關心數學推理求解的過程，而只希望知道問題的結論。從這個意義上講，真正好的數學模型，是該領域的專家認可的模型。只有讓數學上的結果回答了實際的問題，才是一個完整的建模過程。當然，正如我們在前面看到的那樣，模型建立的過程是不斷改進、逐步完善的過程。因此，只有堅持不懈地努力，才能構造出與實際吻合得更好的模型來。l差分模型與經驗模型差分方程就是針對要解決的目標，引入系統(tǒng)或過程中的離散變量，根據實際背景的規(guī)律、性質、平衡關系，建立離散變量所滿足的平衡關系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特別性質（平衡性、穩(wěn)定性、漸近性、振動性、周期性等），從而把握這個離散變量的變化過程的規(guī)律，進一步再結合其他分析，得到原問題的解。應用：差分方程模型有著廣泛的應用。實際上，連續(xù)變量可以用離散變量來近似和逼近，從而微分方程模型就可以近似于某個差分方程模型。差分方程模型有著非常廣泛的實際背景。在經濟金融保險領域、生物種群的數量結構規(guī)律分析、疾病和病蟲害的控制與防治、遺傳規(guī)律的研究等許許多多的方面都有著非常重要的作用?？梢赃@樣講，只要牽涉到關于變量的規(guī)律、性質，就可以適當地用差分方程模型來表現與分析求解。差分方程建模： 在實際建立差分方程模型時，往往要將變化過程進行劃分，劃分成若干時段，根據要解決問題的目標，對每個時段引入相應的變量或向量，然后通過適當假設，根據事物系統(tǒng)的實際變化規(guī)律和數量相互關系，建立每兩個相鄰時段或幾