【正文】 度系統(tǒng)相同，多自由度系統(tǒng)的固有頻率也是由系統(tǒng)本身的物理參數(shù)所決定，與起始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)。多自由度系統(tǒng)有多個(gè)固有頻率，其中的最低固有頻率稱為系統(tǒng)的基頻。 振型 滿足式 （ 25） 的非零 n 階列陣 A 也可視為 n 維向量，稱作系統(tǒng)的本征向量。每個(gè)本征值 2i? 對(duì)應(yīng)于一個(gè)本征向量 )(iA ， n 個(gè)本征向量分別滿足 ? ? ? ? 0)( )(2 ?? ii AMK ? （ 1,2, ,in? ） （ 29） 遼寧工程技 術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 由于式 （ 25） 成立，方程組 （ 27） 的各式線性相關(guān)。 2i? 不是本征方程的重根時(shí)，式（ 27） 中只有一個(gè)不獨(dú)立方程。不失一般性，將最后一個(gè)方程除去，且將 )(iA 的最后一個(gè)元素 inA 的有關(guān)項(xiàng)移至等號(hào)右端，化作 innininninii AmkAmkAmk )()_()( 12111,121,1111211 ??? ?????? ???? （ 210） ????? )(,12,1)( 11,121,1)(11,121,1 )()()( innninninnninninin AmkAmkAmk ????????? ?????? ??? ? 設(shè)此方程左端的系數(shù)行列式不等于零， 將方程右端的 )(inA 的值取做 1，解出的解 )(ijA （ 1, 2, , 1jn??） 記做 )(ij? （ 1, 2, , 1jn??） ，則第 i 固有頻率對(duì)應(yīng)的自由振動(dòng)振幅 )(iA 為 ),( )()(2)(1 iniiiiA ???? ??? （ 1,2, ,in? ） （ 211） 其中 1)( ?in? （ 1,2, ,in? ） 。系統(tǒng)按第 i 階固有頻率所作的振動(dòng)稱作系統(tǒng)的第 i 階主振動(dòng)，寫作 )(ix （ 1,2, ,in? ） ，因?qū)?yīng)無阻 尼振動(dòng)系統(tǒng)，故又稱為固有振型。 )s in ()()( iiiii tx ???? ?? （ 212） 其中 i? 、 i? 為任意常數(shù)，取決于初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。列陣 )(i? 表示系統(tǒng)作第 i 階主振動(dòng)時(shí)，各坐標(biāo)振幅的相對(duì)比值。此相對(duì)比值完全由系統(tǒng)的物理性質(zhì)確定，與初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)，稱作 系統(tǒng)的第 i 階模態(tài)，或第 i 階主振型。系統(tǒng)的固有頻率和對(duì)應(yīng)的模態(tài)完全由系統(tǒng)的物理參數(shù)矩陣 ??K 和 ??M 確定，為系統(tǒng)的固有特性。 當(dāng)輪盤高速旋轉(zhuǎn)時(shí)受離心力的影響會(huì)產(chǎn)生微分剛度陣 ??S (也稱為應(yīng)力硬化陣 或幾何剛度陣 )[12]，此時(shí)系統(tǒng)的剛度陣變?yōu)?: ? ? ? ? ? ?SKKS ?? （ 213） 所以系統(tǒng)的動(dòng)頻計(jì)算式為 : ? ?? ? ? ? iiIS MK ??? 2? （ 214） 對(duì)于輪盤這樣的對(duì)稱結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，存在有重根現(xiàn)象。即在同一頻率下，有相位不同的振動(dòng)型式出現(xiàn)。 丁文文：預(yù)應(yīng)力對(duì)高速旋轉(zhuǎn)輪盤模態(tài)的影響分析 8 ANSYS 在高速旋轉(zhuǎn)輪盤模態(tài)分析中的應(yīng)用 有限元方法概述 有限元法 [13]是目前工程技術(shù)領(lǐng)域中實(shí)用性最強(qiáng)，應(yīng)用最為廣泛的數(shù)值模擬方法；也是當(dāng)今解決工程問題和數(shù)學(xué)物理問題中應(yīng) 用最廣泛的數(shù)值計(jì)算方法。它是將所研究的工程系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成一個(gè)結(jié)構(gòu)近似的有限元系統(tǒng)，該系統(tǒng)由節(jié)點(diǎn)及單元組合而成。有限元系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)學(xué)模式，并根據(jù)數(shù)學(xué)模式，進(jìn)而得到該有限元系統(tǒng)的解答，并通過節(jié)點(diǎn)、單元表現(xiàn)出來。 由于它具有對(duì)復(fù)雜幾何構(gòu)形 的適應(yīng)性 ,對(duì)各種物理問題的可應(yīng)用性 ,建立在嚴(yán)格理論 上的可靠性和適合計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的高效性等特點(diǎn) ,受到數(shù) 學(xué)界和工程界的高度重視 ,現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展成為 CAD 和 CAM 的重要組成部分。 目前國際上大型的有限元分析程序主要有 ANSYS， NASTRAN， ASKA， AUTOFORM、 CFORM、 eta/Dynaform 等。 有限元法的基本思想是 : 將一個(gè)連續(xù)的求解區(qū)域離散（剖分）為一組有限個(gè)單元，并按一定的方式相互聯(lián)結(jié)在一起的集合體，即用一個(gè)有限個(gè)單元的集合體來替代幾何形狀相同或近似相同的連續(xù)求解區(qū)域。由于單元能按不同的聯(lián)結(jié)方式進(jìn)行組合，且單元本身又可以用不同的形狀描述，因此它能模擬幾何形狀十分復(fù)雜的連續(xù)體。同時(shí)，它作為數(shù)值方法的一個(gè)特點(diǎn)是在單元內(nèi)假設(shè)的一個(gè)近似函數(shù)來分片地表示求解域上待求的函數(shù)場。這樣就將求解域內(nèi)連續(xù)的未知的函數(shù)場（無限個(gè)自由度）轉(zhuǎn)化為有限個(gè)單元離散節(jié)點(diǎn)的新未知量（即自由度）的函 數(shù)場（有限個(gè)自由度）。如果單元尺寸趨向無窮小，則有限個(gè)自由度離散的未知函數(shù)場向無限個(gè)自由度的連續(xù)未知函數(shù)場轉(zhuǎn)化，近似解也就收斂于精確解。簡言之，有限元法的解題思路是先將結(jié)構(gòu)分解成許多的單元，進(jìn)行單元分析，然后再將這些單元組合成原有的結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析。在這“一分一合”的過程中一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)計(jì)算問題就轉(zhuǎn)化為若干個(gè)形狀簡單的單元計(jì)算問題，并最后歸結(jié)為線性方程組的求解。由于結(jié)構(gòu)離散后的單元數(shù)目是有限的，所以這種方法就稱之為有限單元法。 有限元法的主要優(yōu)點(diǎn)有： 1） 概念淺顯，容易掌握，可以在不同理論層面上建立起對(duì)有限元 法的理解，既可以通過非常直觀的物理解釋來理解，也可以建立基于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論分析。 2） 有很強(qiáng)的適用性，應(yīng)用范圍極其廣泛。 3） 有限元法采用矩陣形式表達(dá)，便于編制計(jì)算機(jī)軟件。 ANSYS 軟件簡介 ANSYS[14]是一種應(yīng)用廣泛的商業(yè)套裝工程分析軟件。所謂 工程分析，主要是機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)受到外力載荷時(shí)所出現(xiàn)的反應(yīng)，例如應(yīng)力、位移、溫度等。根據(jù)該反應(yīng)可知道機(jī)械結(jié)遼寧工程技 術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 9 構(gòu)系統(tǒng)受到外力載荷后的狀態(tài)，進(jìn)而判斷是否符合設(shè)計(jì)要求。一般機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜，受的載荷也相當(dāng)多，理論分析往往無法進(jìn)行。想到得到解答，必 須先簡化結(jié)構(gòu)，采用數(shù)值模擬的方法進(jìn)行分析。由于計(jì)算機(jī)行業(yè)的發(fā)展，相應(yīng)的軟件也應(yīng)運(yùn)而生，ANSYS 就是其中一種。它是由美國匹 茲堡大學(xué)力學(xué)系教授 Johnswanskon 博士開發(fā)出的頗有影響的 大型通用有限元分析軟件。該軟件在原有結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，又融熱、流體、電磁、聲學(xué)于一體，可廣泛用于機(jī)械、有起空航天、能源、交通運(yùn)輸、土木建筑、水利、電子、地礦、生物醫(yī)學(xué)、教學(xué)科研等眾多領(lǐng)域。它具有結(jié)構(gòu)靜力分析、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析、聲場分析、壓電分析、結(jié)構(gòu)非線性分析、動(dòng)力學(xué)分析、熱分析、流體動(dòng)力學(xué)分析、等功能，同時(shí)它還具有良好的用戶界面 ，前后處理和圖形功能，因而受到國際工程界和學(xué)術(shù)界的普遍歡迎和重視。 ANSYS 程序是一個(gè)功能強(qiáng)大的設(shè)計(jì)分析及優(yōu)化軟件包。與其它有限元分析軟件如 SAP或 NASTRAN 等相比 ,它有以下特點(diǎn) : 1） ANSYS 是完全的 WINDOWS 程序 ,從而使應(yīng)用更加方便 。 2） 產(chǎn)品系列由一整套可擴(kuò)展的、靈活集成的各模塊組成 ,因而能滿足各行各業(yè)的工程需要 。 3） 它不僅可以進(jìn)行線性分析 ,還可以進(jìn)行各類非線性分析 。 4） 它是一個(gè)綜合的多物理場耦合分析軟件 ,用戶不但可用其進(jìn)行諸如結(jié)構(gòu)、熱、流體流動(dòng)、電磁等的單獨(dú)研究 ,還可以進(jìn)行這些分析 的相互影響研究 ,例如 :熱 — 結(jié)構(gòu)耦合 ,磁 — 結(jié)構(gòu)耦合以及電 —磁 — 流體 — 熱耦合等。 ANSYS 軟件 主要包括三個(gè)部分： 前處理 模塊、 求解 模塊 和后處理 模塊。 ANSYS 前處理模塊主要實(shí)現(xiàn)三種功能：參數(shù)定義、實(shí)體建模、網(wǎng)格劃分。 ANSYS 程序提供了兩種實(shí)體建模的方法 :即自頂向下和 自底向上。自頂向下進(jìn)行實(shí)體建模時(shí)，用戶只要定義一個(gè)模型的最高級(jí)圖元，較為常用的實(shí)體建模形狀 (如球，棱柱 )，稱為幾何體素，可以用單獨(dú)的 ANSYS 命令來生成。自底向上 進(jìn)行實(shí)體建模時(shí)，用戶從最低級(jí)圖元向上構(gòu)建模型，即 :用 戶首先定義關(guān)鍵點(diǎn)，然后依次是相 關(guān)的線、面、體。自頂向下與自底向上建模技術(shù)可在任何模型中自由組合使用。 ANSYS 求解模塊是程序用來完成對(duì)已經(jīng)生成的有限元模型進(jìn)行力學(xué)分析和有限元求解。在此階段，用戶可以定義分析類型、分析選項(xiàng)、載荷數(shù)據(jù)和載荷步選項(xiàng)。 ANSYS 后處理模塊包括通用后處理模塊和時(shí)間歷程后處理模塊。完成計(jì)算后，可通過后處理模塊將計(jì)算結(jié)果以彩色等值線顯示、云圖顯示、矢量顯示等圖形方式顯示出來，也可以將結(jié)果以圖表、曲線形式顯示或輸出。 丁文文：預(yù)應(yīng)力對(duì)高速旋轉(zhuǎn)輪盤模態(tài)的影響分析 10 應(yīng)用 ANSYS 進(jìn)行高速旋轉(zhuǎn)輪盤 模態(tài)分析 的步驟 ANSYS 環(huán)境下的模態(tài)分析是一個(gè)線性分 析 ,即在模 態(tài)分析中線性行為是有效的 ,模態(tài)分析也可用于有預(yù)應(yīng) 力的結(jié)構(gòu)和循環(huán)對(duì)稱結(jié)構(gòu)的分析 [15]。 ANSYS 模態(tài)分析的具體步驟如下 : 1） 建立有限元模型 : 在這一步驟中要指定項(xiàng)目的名稱和分析標(biāo)題，然后在前處理器中定義單元類型，單元實(shí)常數(shù)，材料性質(zhì)以及幾何模型。 2） 加載載荷并求解 : 在這一步驟中要定義分析類型和分析選項(xiàng)，施加載荷，指定載荷階段選項(xiàng)，并進(jìn)行固有頻率的有限元求解，在得到初始解后，應(yīng)該對(duì)模態(tài)進(jìn)行擴(kuò)展以供察看。需要注意的是在指定分析類型和分析選項(xiàng)的菜單中有一項(xiàng)為 Prestress Effects Calculation，它是控制 是否有預(yù)應(yīng)力的開關(guān)。在進(jìn)行靜止?fàn)顟B(tài)頻率計(jì)算時(shí)不需選該選項(xiàng)。 ANSYS 提供了 7 種模態(tài)分析的方法 ,分別是子空間 法 （ Subspace） ,分塊 Lanczos 方法（ Block Lanczos） ,PoweDynamics 方法 ,縮減法 （ Reduced） ,非對(duì)稱法 （ Unsymmetric） ,阻尼法 （ Damped） ,QR 阻尼法 （ QR Damped） 。 對(duì)于葉輪軸來說，由于其動(dòng)力學(xué)模型自由度數(shù)很高，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣均為大型稀疏矩陣，若采用求解一般特征值問題的向量迭代法、矩陣變換法 等方法勢必要花費(fèi)很多時(shí)間，進(jìn)行大量的運(yùn)算。實(shí)際上，對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性影響最大的常常是結(jié)構(gòu)的最低幾階特征對(duì)。因此這就涉及到大型稀疏矩陣特征問題的有效方法問題。最常用的方法有行列式搜索法、子空間法和蘭佐斯法 （ Lanczos） 。 行列式搜索法用來計(jì)算小帶寬大型稀疏矩陣的最小幾階特征值和特征向量是非常有效的。這種解法能得到較高精度的特征值和特征向量，且不會(huì)發(fā)生特征值丟失的現(xiàn)象。按照帶寬求解整個(gè)特征系統(tǒng)時(shí)，行列式搜索法會(huì)比吉文斯一豪斯霍爾德法更為有效。不過，當(dāng)矩陣的帶寬較大時(shí)，由于多項(xiàng)式迭代的費(fèi)用很高，而這一方法顯得并不 經(jīng)濟(jì)。此時(shí)，較為有效得解法是子空間迭代法。該種方法充分利用矩陣的稀疏性及對(duì)稱性，而且便于分塊計(jì)算，通過對(duì)所有待求的特征向量同時(shí)進(jìn)行逆迭代，可以減少磁盤文件讀寫次數(shù)，進(jìn)一步提高采用外存系統(tǒng)的求解效率。 本文利用 ANSYS 軟件進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)采用的是 Block Lanczos 法 。 使用 Block Lanczos法分析有很多約束、自由度非常多的結(jié)構(gòu)時(shí)，可能需要非常大的內(nèi)存。這是因?yàn)橄喈?dāng)多的約束方程會(huì)占用巨大的波前空間； Block Lanczos 法 也 是 ANSYS 默認(rèn)的求 解方法，它采用Block Lanczos 算法，是用 一組向量來實(shí)現(xiàn)遞 歸的。 Block Lanczos 法 是解決大型稀疏矩陣標(biāo)遼寧工程技 術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 準(zhǔn)特征問題的一種極為有效的方法。該方法最大的優(yōu)點(diǎn)是僅通過矩陣的相乘運(yùn)算即可獲得結(jié)構(gòu)離散化模型較好的假設(shè)模態(tài)矩陣。 3 ） 擴(kuò)展模態(tài) :所謂的擴(kuò)展模態(tài)就是將振型寫入結(jié)果 文件 , 這些文件包括， ， 等 。 如果想在后處理中觀察到振型 ,就必須先進(jìn)行模態(tài) 擴(kuò)展。 4） 后處理 ： 經(jīng)過模態(tài)擴(kuò)展以后 模態(tài)分析的結(jié)果被寫入到結(jié)構(gòu)分析結(jié)果文件 中，分析包括 :固有頻率、 己擴(kuò)展的振型。 從 以上的仿真計(jì)算結(jié)果可以看出 ,利用 ANSYS 對(duì)機(jī) 械結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析 ,方法簡便計(jì)算快捷 ,得到的振型 形象直觀 ,完全可以滿足模態(tài)分析的需要。 丁文文：預(yù)應(yīng)力對(duì)高速旋轉(zhuǎn)輪盤模態(tài)的影響分析 12 3 預(yù)應(yīng)力條件下高速旋轉(zhuǎn)輪盤靜力學(xué)分析 由于高速旋轉(zhuǎn)的輪盤在工作時(shí)會(huì)受到離心載荷引起的預(yù)應(yīng)力的影響，本文將輪盤高速旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力看作靜載荷，分析輪盤的位移及應(yīng)力。這些工作既是為了作初步的強(qiáng)度分析，也是為輪盤的模態(tài)分析做準(zhǔn)備。 問題的描述 輪盤為軸對(duì)稱的旋轉(zhuǎn)零件，其結(jié)構(gòu)具有軸對(duì)稱的特點(diǎn) .考慮輪盤的工作條件，其工作時(shí)所承受的載 荷比較復(fù)雜，主要有以下幾種載荷：輪盤與軸承接觸部位的過盈配合應(yīng)力、輪緣部位葉片的離心力和輪盤自身的離心力 、工作介質(zhì)產(chǎn)生的軸向載荷、溫度載荷 等，這些載荷都具有軸對(duì)稱的特點(diǎn)。 由于輪盤自重產(chǎn)生的應(yīng)力以及扭轉(zhuǎn)應(yīng)力的大小，可以忽略不計(jì)，因此可以將輪盤有限元分析作為軸對(duì)稱問題進(jìn)行分析，使分析規(guī)模大大減小。 本文所研究的輪盤 安裝安裝在某轉(zhuǎn)軸上以 12021r/min 的速度高速旋轉(zhuǎn) ，材料為鋼，相關(guān)參數(shù)為：楊氏模量 EX=，泊松比 P