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高中數(shù)學(xué)人教a版選修（2-3）132《研究性課題 楊輝三角》教案-文庫吧

2024-10-30 23:24 本頁面


【正文】 20 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1284 1716 1716 1284 715 286 78 13 1 1． 楊輝三角基本性質(zhì) ▲教學(xué)意圖 介紹楊輝三角蘊(yùn)含的基本規(guī)律 （ 1）表中每個(gè)數(shù)都是組合數(shù)，第 n行的第 r+1個(gè)數(shù)是)!(! ! rnr nCrn ??． （ 2）三角形的兩 條斜邊上都是數(shù)字 1，而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字相加，也就是 rnrnrn CCC 111 ??? ?? ． （ 3）楊輝三角具有對(duì)稱性（對(duì)稱美），即 rnnrn CC ?? ． （ 4）楊輝三角的第 n行是二項(xiàng)式（ a+b） n展開式的 二項(xiàng)式系數(shù) ，即 nnnrrnrnnnnnn bCbaCbaCaCba ??????? ?? ??1110)( (5) 當(dāng) n為偶數(shù)時(shí) ,第 n 行有奇數(shù)項(xiàng) ,中間一項(xiàng)最大 。當(dāng) n為奇數(shù)時(shí) ,第 n 行有偶數(shù)項(xiàng) ,中間兩項(xiàng)相等且最大．這條性質(zhì)就是二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 2． 下面 ,師生一起繼續(xù)探究楊輝三角蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，形 成知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 2．楊輝三角有趣的數(shù)字排列規(guī)律 ▲教學(xué)意圖 培養(yǎng)學(xué)生觀察力，注意觀察方法：橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多種角度觀察（橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同?。? 問題 1： 楊輝三角的第 1， 3， 7， 15，．．．行，即第 2K1(k是正整數(shù) )行的各個(gè)數(shù)字有什么特點(diǎn)？ 分析：觀察可知，它們均為奇數(shù)．第 2K行除兩端的 1之外都是偶數(shù) . 延伸： 除兩端的 1之外 ，哪些行的各個(gè)數(shù)字是 3的倍數(shù)？ 分析：第 ??、 3k(k 是正整數(shù) )行 。 問題 2： 楊輝三角第 5行中，除去兩端的數(shù)字 1以外，行數(shù) 5整除其余所有的數(shù)．你 能再找出具有類似性質(zhì)的三行嗎？這時(shí)的行數(shù)Ｐ是什么數(shù)？ ▲教學(xué)意圖 繼續(xù)“橫”看 分析：如 2， 3， 7， 11等行．行數(shù)Ｐ是質(zhì)數(shù) (素?cái)?shù) ). 問題 3： 計(jì)算楊輝三角中各行數(shù)字的和，看有何規(guī)律： 第 1行 1＋ 1＝ 2 第 2行 1＋ 2＋ 1＝ 4＝ 22 第 3行 1＋ 3＋ 3＋ 1＝ 8＝ 23 第 4行 1＋ 4＋ 6＋ 4＋ 1＝ 16＝ 24 第 5行 1＋ 5＋ 10＋ 10＋ 5＋ 1＝ 32＝ 25 ．．． 第 n行 nnnnnrnnnn CCCCCC 21210 ???????? ??? 分析：第 n行數(shù)字的和為 2 n． 前 n行 (含第 0行 )所有數(shù)的和為 2 n – 1， 它恰好比第 n行的和 2 n小 1． 問題 4： 從楊輝三角中一個(gè)確定的數(shù)的“左（右）肩” 出發(fā)， 向右（左）上方作一條和左斜邊平行的射線，在這條射線上的各數(shù)的和等于這個(gè)數(shù)． ▲教學(xué)意圖 再引導(dǎo)學(xué)生“斜”向看 例如： 10＝ 1＋ 2＋ 3＋ 4， 20＝ 1＋ 3＋ 6＋ 10，．．． ▲教學(xué)意圖 引導(dǎo)學(xué)生得出一般性的結(jié)論 一般地，在第 m條斜線上（從右上到左下）前 n個(gè)數(shù)字的和，等于第 m+1條斜線上的第 n個(gè)數(shù)． 根據(jù)這一性質(zhì)，猜想下列數(shù)列的前 n項(xiàng)和： 1＋ 1＋ 1＋ ．．．＋ 1＝ 1nC （第 1條斜線） 1＋ 2＋ 3＋ ．．．＋ 11?nC ＝ 2nC （第 2條斜線） 1＋ 3＋ 6＋ ．．．＋ 21?nC ＝ 3nC （第 3條斜線） 1＋ 4＋ 10＋ ．．．＋ 31?nC ＝ 4nC （第 4條斜線）
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