20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學第四章《導數(shù)應用》ppt章末歸納總結課件-文庫吧
2025-10-13 23:22 本頁面
【正文】 極大值就是最大值，極小值就是最小值 . ( 3 ) 可導函數(shù)的極值點導數(shù)為零，但是 導數(shù)為零的點不一定． ． ． ． ． ． ． ． ．是極值點． ． ． ．．． ( 4 ) 極值是一個 局部． ．概念，極大值 不一定． ． ．比極小值大 ． 7 ． 導數(shù)的實際應用 ( 1 ) 在求實際問題的最大 ( 小 ) 值時，一定要注意考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應舍去 ． ( 2 ) 在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f ′ ( x ) ＝ 0 的情形，如果函數(shù)在這點有極大 ( 小 ) 值，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大 ( 小 ) 值 ． 題 型 探 究 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 1. 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是導數(shù)的主要應用之一，其步驟為： ( 1 ) 求導數(shù) f ′ ( x ) ； ( 2 ) 解不等式 f ′ ( x ) 0 或 f ′ ( x ) 0 ； ( 3 ) 確定函數(shù)的單調增區(qū)間、減區(qū)間 ． 2 ． 函數(shù) y ＝ f ( x ) 在區(qū)間 ( a ， b ) 上的導函數(shù)為 f ′ ( x ) ，若 f ′ ( x ) 0 總成立，則該函數(shù)在 ( a ， b ) 上單調遞增；若 f ′ ( x ) 0 總成立，則該函數(shù)在 ( a ， b ) 上單調遞減 ． 設函數(shù) f ( x ) ＝ x3＋ ax2－ 9 x － 1( a 0 ) ． 若曲線 y ＝ f ( x )的斜率最小的切線與直線 12 x ＋ y ＝ 6 平行 ． 求： ( 1 ) a 的值； ( 2 ) 函數(shù) f ( x ) 的單調區(qū)間 ． [ 解析 ] ( 1 ) f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 ax － 9 ＝ 3( x ＋a3)2－ 9 －a23，即當 x＝－a3時， f ′ ( x ) 取得最小值－ 9 －a23. 因斜率最小的切線與直線 12 x ＋ y ＝ 6 平行，即該切線的斜率為－ 12 ，所以－ 9 －a23＝－ 12 ，即 a2＝ 9. 解得 a ＝ 177。3 ，由題設 a 0 .∴ a ＝－ 3. (2)由 (1)知 f(x)＝ x3－ 3x2－ 9x－ 1， 則 f′(x)＝ 3x2－ 6x－ 9＝ 3(x－ 3)(x＋ 1)． 令 f′(x)＝ 0，解得 x1＝－ 1， x2＝ 3. 當 x∈ (－ ∞，－ 1)時， f′(x)0，故 f(x)在 (－ ∞，－ 1)上為增函數(shù)； 當 x∈ (－ 1,3)時， f′(x)0，故 f(x)在 (－ 1,3)上為減函數(shù)； 當 x∈ (3，＋ ∞)時， f′(x)0，故 f(x)在 (3，＋ ∞)上為增函數(shù)． 由此可見，函數(shù) f(x)的單調遞增區(qū)間為 (－ ∞，－ 1)和 (3，＋∞)；單調遞減區(qū)間為 (－ 1,3). 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值 ： (1)確定函數(shù) f(x)的定義域； (2)求方程 f ′(x)＝ 0的根； (3)檢驗 f ′(x)＝ 0的根的兩側 f ′(x)的符號． 若左正、右負，則 f(x)在此根處取得極大值； 若左負、右正，則 f(x)在此根處取得極小值． 否則，此根不是 f(x)的極值點． 2．求函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 [a， b]上的最大值、最小值的方法與步驟： (1)求 f(x)在 (a， b)內(nèi)的極值； (2)將 (1)中求得的極值與 f(a)、 f(b)相比較，其中最大的一個值為最大值，最小的一個值為最小值． 特別地，①當 f(x)在 [a， b]上單調時，其最小值、最大值在區(qū)間端點取得；②當 f(x)在 (a， b)內(nèi)只有一個極值點時，若在這一點處 f(x)有極大 (或極小 )值，則可以斷定 f(x)在該點處取得最大 (或最小 )值，這里 (a， b)也可以是 (－ ∞，＋ ∞)． ( 2 0 1 4 長春市期末調研 ) 設函數(shù) f ( x ) ＝ x3－32ax2＋a ( a ∈ R ) ． ( 1 ) 討論 函數(shù) f ( x ) 的單調區(qū)間； ( 2 ) 求函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 [ 0 , 2 ] 上的最小值； ( 3 ) 是否存在實數(shù) a ，使得函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 ( － 1 , 2 ) 上既存在最大值又存在最小值，若存在，求出 a 的取值范圍；若不存在，說明理由 ． [解析 ] (1)因為 f ′(x)＝ 3x(x－ a)，所以有： 當 a0時，函數(shù) f(x)的單調遞增區(qū)間為 (－ ∞， 0)， (a，＋∞)，單調遞減區(qū)間為 (0， a)； 當 a0時，函數(shù) f(x)的單調遞增區(qū)間為 (－ ∞， a)， (0，＋∞)，單調遞減區(qū)間為 (a,0)； 當 a＝ 0時， f ′(x)＝ 3x2≥0，所以函數(shù) f(x)在區(qū)間 (－ ∞，＋ ∞)上遞增； ( 2 ) 當 a ≤ 0 時，由 ( 1 ) 易知 f ( x ) 在區(qū)間 [ 0 , 2 ] 上單調遞增，故最小值為 f ( 0 ) ＝ 0 ； 當 a ≥ 2 時，由 ( 1 ) 知 f ( x ) 在 [ 0 , 2 ] 上單調遞減，故最小值為 f ( 2 )＝
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