【正文】 11111?? 111??na=1(1an)=an.∴ an+3=an. （ 2） 解 由（ 1）知數(shù)列 {an}的周期 T=3， a1=21， a2=1， a3=∵ a2 008=a3 669+1=a1=21.∴ a2 008=21. f(x)=x2ax+a (x∈ R)同時滿足：①不等式 f(x)≤ 0的解集有且只有一個元素；②在定義域內(nèi)存在 0﹤ x1﹤ x2,使得不等式 f(x1)＞ f(x2)成立 .設(shè)數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn=f（ n） . （ 1）求函數(shù) f(x)的表達(dá)式； （ 2）求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 . 解 （ 1）∵ f(x)≤ 0的解集有且只有一個元素， ∴Δ =a24a=0? a=0 或 a=4， 當(dāng) a=4時，函數(shù) f(x)=x24x+4在（ 0， 2）上遞減， 故存在 0＜ x1＜ x2,使得不等式 f(x1)＞ f(x2)成立， 當(dāng) a=0時， 函數(shù) f(x)=x2在（ 0,+∞）上遞增， 故不存在 0﹤ x1﹤ x2,使得不等式 f(x1)﹥ f(x2)成立， 綜上，得 a=4,f(x)=x24x+4. （ 2）由（ 1）可知 Sn=n24n+4,當(dāng) n=1時， a1=S1=1, 當(dāng) n≥ 2時， an=SnSn1=(n24n+4)［ (n1)24(n1)+4］ =2n5, ∴ an=??? ?? ? )2(52 )1(1 nn n. 167。 等差數(shù)列及其前 n 項(xiàng)和 基礎(chǔ)自測 1.（ 2020廣東理， 2） 記等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，若 a1=21， S4=20，則 S6等于 ( ) 答案 D {an}是等差數(shù)列， a10,a2 007+a2 0080,a2 007 a2 0080,則使 Sn0成立的最大自然數(shù) n是 （ 013 014 015 016 答案 B 3.（ 2020全國Ⅰ理， 5）已知等差數(shù)列 {an}滿足 a2+a4=4， a3+a5=10，則它的前 10項(xiàng)的和 S10等于 （ 答案 C {an}和 {bn}的前 n 項(xiàng)和分別為 An和 Bn，且3457 ??? nnBAnn,則使得nnba為整數(shù)的正整數(shù) n 的個數(shù)是（ 答案 D a,b,m,n和 x,n,y,m均成等差數(shù)列，則 2b+y2a+x的值為 （ D. 不確 答案 C 例 1 已知數(shù)列 {an}滿足 a1=4,an=414?na(n≥ 2),令 bn=21?na.求證：數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列 . 證明 ∵ an+12=2na4=nnaa )2(2 ? ∴211??na=)2(2 ?nnaa=)2(2 22???nnaa=21+21?na ∴211??na21?na=21， ∴ bn+1bn=21. ∴數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列 . 例 2 在等差數(shù)列 {an}中， （ 1）已知 a15=33,a45=153,求 a61。 (2)已知 a6=10,S5=5，求 a8和 S8； （ 3）已知前 3項(xiàng)和為 12，前 3項(xiàng)積為 48，且 d＞ 0,求 a1. 解 （ 1） 方法一 設(shè)首項(xiàng)為 a1,公差為 d,依條件得 ??? ?? ?? da da 44153 1433 11,解方程組得??? ???.4231d ，a ∴ a61=23+(611) 4=217. 方法二 由 d=mn aa mn??,得 d=1545 1545??aa=3033153?=4, 由 an=am+(nm)d, 得 a61=a45+16d=153+16 4=217. （ 2）∵ a6=10,S5=5,∴??? ?? ?? 5105 10511 da da. 解方程組得 a1=5,d=3, ∴ a8=a6+2d=10+2 3=16,S8=82 )( 81 aa?=44. (3)設(shè)數(shù)列的前三項(xiàng)分別為 ad,a,a+d,依題意有： ??? ????? ????? 48)()( 12)()( daada daada, ∴????? ??? 48)( 4 22 daaa,∴??? ??? 24da. ∵ d＞ 0,∴ d=2,ad=2.∴首項(xiàng)為 2.∴ a1=2. 例 3 （ 12分）在等差數(shù)列 {an}中，已知 a1=20,前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 S10=S15，求當(dāng) n取何值時， Sn取得最大值，并求出它的最 大值 . 解 方法一 ∵ a1=20， S10=S15， ∴ 10 20+2910?d=15 20+21415?d， ∴ d=35. 4 分 ∴ an=20+（ n1） (35)=35n+365. 8 分 ∴ a13=0. 即當(dāng) n≤ 12時， an＞ 0,n≥ 14時， an＜ 0. 10分 ∴當(dāng) n=12或 13時， Sn取得最大值，且最大值為 S12=S13=12 20+21112? ?(35)=130. 12分 方法二 同方法一求得 d=35. 4 分 ∴ Sn=20n+2 )1( ?nn (35) =65n2+6125n =65 2225?????? ?n+241253. 8 分 ∵ n∈ N+,∴當(dāng) n=12或 13時， Sn有最大值， 且最大值為 S12=S13=130. 12 分 方法三 同方法一得 d=35. 4分 又由 S10=S15,得 a11+a12+a13+a14+a15=0. 8 分 ∴ 5a13=0,即 a13=0. 10 分 ∴當(dāng) n=12或 13時， Sn有最大值， 且最大值為 S12=S13=130. 12分 {an},{bn}滿足 bn=n naaaa n???? ???? ? ?321 32 321，若 {bn}為等差數(shù)列，求證： {an}也為等差數(shù)列 . 證明 由題意有 a1+2a2+3a3+? +nan=2 )1( ?nnbn， ① 從而有 a1+2a2+3a3+? +(n1)an1=2 )1( ?nnbn1(n≥ 2), ② 由① ②，得 nan=2 )1( ?nnbn2 )1( ?nnbn1, 整理得 an=2 1??? nn bbnd, 其中 d為 {bn}的公差 (n≥ 2). 從而 an+1an=2)1( 1 nn bbdn ??? ?2 1??? nn bbnd =22 dd?= d23(n≥ 2). 又 a1=b1， a2=22 12 bbd ?? ∴ a2a1=22 12 bbd ??b1=22 12 bbd ??=23d. 綜上， an+1an=23d（ n∈ N*） . 所以 {an}是等差數(shù)列 . 2.（ 2020 成都市第一次調(diào)研 ）設(shè) {an}為等差數(shù)列 ,Sn為數(shù)列 {an}的 前 n項(xiàng)和 ,已知 S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列??????nSn的前 n項(xiàng)和 ,求 Tn. 解 設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d, 則 Sn=na1+21n(n1)d, ∵ S7=7,S15=75, ∴??? ?? ?? 7510515 7217 11 da da, 即??? ?? ?? 57 1311 da da,解得??? ???121da, ∴nSn=a1+21(n1)d=2+21(n1), ∵11??nSnnSn=21, ∴數(shù)列??????nSn是等差數(shù)列 ,其首項(xiàng)為 2,公差為21, ∴ Tn=41n249n. {an}中， a1＜ 0,S9=S12,該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最??？ 解 由條件 S9=S12可得 9a1+289?d=12a1+21112?d，即 d=101a1. 由 a1＜ 0知 d＞ 0,即數(shù)列 {an}為遞增數(shù)列 . 方法一 由??? ??? ????? 0 0111 1 ndaa d)n(aann， 得????????????01011011011nn ）（ ,解得 10≤ n≤ 11. ∴當(dāng) n為 10或 11時， Sn取最小值， ∴該數(shù)列前 10項(xiàng)或前 11 項(xiàng)的和最小 . 方法二 ∵ S9=S12，∴ a10+a11+a12=3a11=0，∴ a11=0. 又∵ a1＜ 0,∴公差 d＞ 0，從而前 10項(xiàng)或前 11項(xiàng)和最小 . 方法三 ∵ S9=S12， ∴ Sn的圖象所在拋物線的對稱軸為 x=2129?=, 又 n∈ N*， a1＜ 0,∴ {an}的前 10項(xiàng)或前 11 項(xiàng)和最小 . 方法四 由 Sn=na1+2 )1( ?nnd=2d 2n+ ?????? ?21 dan， 結(jié)合 d=101a1得 Sn= ??????? 1201a n2+ ?????? 12021a n =201a 2221?????? ?n+80441a1 （ a1＜ 0）， 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 n=221=， Sn最小 .又 n∈ N*，故 n=10或 11時 Sn取得最小值 . 一、選擇題 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，若 a2=1,a3=3,則 S4等于 （ ） 答案 C {an}中，已知 1a =2,a2+a3=13,則 a4+a5+a6等于 （ ） 答案 B 10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為 15，偶數(shù)項(xiàng)之和為 30，則其公差為 （ ） 答案 C {an}的前三項(xiàng)分別為 a1,2a+1,a+7,則這個數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （ ） =4n3 B. an=2n1 =4n2 =2n3 答案 A 5.（ 2020大連模擬 ）在等差數(shù)列 {an}中，若 a4+a6+a8+a10+a12=120,則 a931a11的值為 （ 答案 C {an}的前 n項(xiàng)和滿足 S20=S40，下列結(jié)論中正確的是 （ Sn Sn =0 =0 答案 D 二、填空題 7.（ 2020重慶理， 14） 設(shè) Sn是等差數(shù)列