平面的法向量與平面的向量表示-文庫(kù)吧
2025-07-21 06:30 本頁(yè)面
【正文】 據(jù)需要進(jìn)行選取，一個(gè)平面的所有法向量共線． 返回 [例 1] 已知點(diǎn) A(1， 0， 0)、 B(0， 2， 0)、 C(0， 0， 3)，求平面 ABC的一個(gè)法向量． [思路點(diǎn)撥 ] 返回 [ 精解詳析 ] 設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為 O ， 由已知可得： AB ＝ OB － OA ＝ (0 ， 2 ， 0) － (1 ， 0 ， 0) ＝ ( － 1 ， 2 ， 0) ， AC ＝ OC － OA ＝ (0 ， 0 ， 3) － (1 ， 0 ， 0) ＝ ( － 1 ， 0 ， 3) ． 設(shè)平面 ABC 的一個(gè)法向量為 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 則 n AB ＝ ( x ， y ， z ) ( － 1 ， 2 ， 0) ＝－ x ＋ 2 y ＝ 0 ， n AC ＝ ( x ， y ， z ) ( － 1 ， 0 ， 3) ＝－ x ＋ 3 z ＝ 0. 不妨令 x ＝ 6 ，則 y ＝ 3 ， z ＝ 2. 因此，可取 n ＝ (6 ， 3 ， 2) 為平面 ABC 的一個(gè)法向量． 返回 [一點(diǎn)通 ] 利用待定系數(shù)法求法向量的解題步驟： 返回 1．已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量 a＝ (2， 3， 1)， b＝ (5， 6， 4)， 則該平面的一個(gè)法向量為 ( ) A． (1，－ 1， 1) B． (2，－ 1， 1) C． (－ 2， 1， 1) D． (－ 1， 1，－ 1) 解析： 顯然 a 與 b 不平行，設(shè)平面的法向量為 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 則有?????a n ＝ 0b n ＝ 0??????2 x ＋ 3 y ＋ z ＝ 0 ，5 x ＋ 6 y ＋ 4 z ＝ 0. 令 z ＝ 1 ，得 x ＝－ 2 ， y ＝ 1. ∴ n ＝ ( － 2 ， 1 ， 1) ． 答案： C 返回 2. 四邊形 ABCD 是直角梯形， ∠ ABC ＝ 90176。 ， SA ⊥ 平面 ABCD ， SA ＝ AB ＝ BC ＝ 2 ， AD ＝ 1 ，在如圖所示的坐標(biāo)系 A xy z 中，分 別求平面 S C D 和平面 S A B 的一個(gè)法 向量． 返回 解： A (0 ， 0 ， 0) ， D (1 ， 0 ， 0) ， C (2 ， 2 ， 0) ， S (0 ， 0 ， 2) ， ∵ AD ⊥ 平面 S A B ， ∴ AD ＝ (1 ， 0 ， 0) 是平面 S A B 的一個(gè)法向量． 設(shè)平面 S C D 的法向量為 n ＝ (1 ， y ， z ) ， 則 n DC ＝ (1 ， y ， z ) ( 1 ， 2 ， 0) ＝ 1 ＋ 2 y ＝ 0 ， ∴ y ＝－12. 又 n DS ＝ (1 ， y ， z ) ( － 1 ， 0 ， 2) ＝－ 1 ＋ 2 z ＝ 0 ， ∴ z ＝12. ∴ n ＝ (1 ，－12，12) 即為平面 S C D 的一個(gè)法向量 . 返回 [ 例 2] 如圖，在正方體 ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F ， M 分別為棱 BB 1 ，CD ， AA 1 的中點(diǎn)
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